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罗江中学2012级一诊模拟试题(4)

发布时间:

2011 届高三上学期期末 期末代 综合练习( 2011 届高三上学期期末代数综合练习(二)
一、选择题: 选择题: 选择题 1. “ x > 0 ”是“ x ≠ 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2. 函数 y = 2 cos ( x ?
2

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π
4

) ? 1是
B. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为

A.最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为

π
2

的奇函数

π
2

的偶函数

3.

设 z = 1 + i (是虚数单位) ,则 A. ?1 ? i B. ?1 + i

2 2 +z = ( z

) D. 1 + i

C. 1 ? i

4. 设 a 为非零实数,函数 y = A、 y = C、 y = 5. 设集合 I

1 ? ax 1 ( x ∈ R, 且x ≠ ? )的反函数是 1 + ax a (
B、 y = D、 y =

)

1 ? ax 1 ( x ∈ R , 且x ≠ ? ) 1 + ax a

1 + ax 1 ( x ∈ R , 且x ≠ ? ) 1 ? ax a

1+ x ( x ∈ R, 且x ≠ 1) a (1 ? x)

1? x ( x ∈ R, 且x ≠ ?1) a (1 + x)

= {1, 2,3,4,5} ,选择 I 的两个非空子集A和B,要使A中最小的数大于B中最大的数,
B. 50种 C. 49种 D. 48种

则不同的选择方法共有 A. 51种

6. 设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S6 S =3 ,则 9 = S3 S6

A、 2 7.

B、

7 3

C、

8 3

D、3 ( )

已知随机变量 ξ 和 η ,其中 η =12 ξ +7,且 E η =34,若 ξ 的分布列如下表,则 m 的值为
ξ

1
1 4

2 m B. ?
1 4

3 n C.
1 6

4
1 12

P ? A.
1 3

D. ?

1 8

8. i 与 j 为互相垂直的单位向量, = i ? 2 j , = i + λ j 且 a 与 b 的夹角为锐角, λ 的取值范围是 为互相垂直的单位向量, 的夹角为锐角, a b 则 的取值范围是( A. ( ?∞, ?2) U ( ?2, ) .

r

r

r

r

r r r

r

r

r

)

1 2

B. ( , +∞ ) .

1 2

C. (?2, ) U ( , +∞ ) .
-1-

2 3

2 3

D. ( ?∞, ) .

1 2

9. 某 市 组 织 一 次 高 三 调 研 考 试 , 考 试 后 统 计 的 数 学 成 绩 服 从 正 态 分 布 , 其 密 度 函 数 为

f ( x) =

1 2π ?10

e

?

( x ?80) 2 200

( x ∈ R ) ,则下列命题中不正确的是 (

)

A. 该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B. 分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C. 分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D. 该市这次考试的数学成绩标准差为 10 10. 已知函数 f ( x ) =Acos( ω x + ? )的图象如图所示,
O y

π
2 ? 2 3 7π 12 11π 12
x

2 f ( ) = ? ,则 f (0) =( 2 3
A、 ?

π



2 3

B、

2 3

C、--

1 2

D、

1 2

11. 已知函数 y=f(x ? 1)的图像关于点(1,0)对称,且当 x∈ ( ?∞ ,0)时,f(x)+x f ′( x ) <0 成立(其中 f ′( x ) 的图像关于点( )对称, 成立( 的图像关于点 时 的导函数) 。若 是 f(x)的导函数) 若 a=( 3 的导函数 。 大小关系是( 大小关系是( A.a>b>c . ) B。c>b>a 。 C 。 c>a>b D。 a>c>b 。
0.3

) ? f( 3

0.3

),

b=( logπ 3 ) ? f( logπ 3 ,)

c=( log 3

1 1 ) ? f( log 3 ),则 a,b,c 的 则 9 9

12.已知以 T = 4 为周期的函数 f ( x) = ?

?m 1 ? x 2 , x ∈ (?1,1] ? ,其中 m > 0 。 ? 1 ? x ? 2 , x ∈ (1,3] ?
) D. ( , 7 )

若方程 3 f ( x) = x 恰有 5 个实数解,则的取值范围为( A. (

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

4 3

二、填空题: 填空题: 13. 已知向量 a = (1,1), b = (2, x), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数的值是 14. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 = S3 = 12 ,则 lim 15. 如果函数 y = 3cos(2 x + φ ) 的图像关于点 ( 16. 若 α ∈ [ 0, π ] , β ∈ ? ?

n →∞

Sn = n2

.

4π , 0) 中心对称,那么 φ 的最小值为 3
3

π? ? π π? ? , ? ,λ∈R,且 ? α ? ? ? cos α ? 2λ = 0 , 2? ? 4 4? ?


?α ? 4 β 3 + sin β cos β + λ = 0 ,则 cos ? + β ? 的值为= ?2 ?

-2-

三、解答题: 解答题: 17. 已 知 函 数 f ( x) = ax + b 1 + x ( x ≥ 0) , 且 函 数 f ( x)与g ( x) 的 图 象 关 于 直 线 y = x 对 称 , 又
2

f ( 3) = 2 ? 3, g (1) = 0 .
2

(1)求 f ( x ) 的值域;

(2)是否存在实数 m ,使命题 p : f ( m ? m) < f (3m ? 4) 和 q : g ( 命题? 若存在, 求出 m 的范围; 若不存在, 说明理由.

m ?1 3 )> 满足复合命题 p且q 为真 4 4

18.已知函数 f ( x ) = log 4 (4 + 1) + kx ( k ∈ R ) 是偶函数.
x

(1)求 k 的值;

(2)设 g ( x ) = log 4 ( a ? 2 ?
x

4 a ) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 a 的取值范围. 3

-3-

18、 (本小题共计 12 分) 【理科】在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 , 3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两 ... 张卡片的标号分别为 x 、 y ,记 ξ = x ? 2 + y ? x . (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望.

19、 (本小题 12 分) 。 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = ?an ? ( ) n ?1 + 2 (n 为正整数) (Ⅰ)令 bn = 2 n an ,求证数列 {bn } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 cn =

1 2

n +1 5n an , Tn = c1 + c2 + ........ + cn 试比较 Tn 与 的大小,并予以证明。 n 2n + 1

20.设函数 f ( x) = sin(

πx π

πx ? ) ? 2 cos 2 +1. 4 6 8

(1)求 f ( x ) 的最小正周期.

(2)若函数 y = g ( x ) 与 y = f ( x) 的图像关于直线 x = 1 对称,求当 x ∈ [0, ] 时, y = g ( x ) 的最大值.

4 3

-4-

2 2 x 21.已知函数 f ( x) = ( x + ax ? 2a + 3a )e ( x ∈ R ), 其中 a ∈ R ;

(1) 当 a = 0 时,求曲线 y = f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2)当 a ≠

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。 3

-5-

22. 已知数列 {an }的前项和为 S n ,且 a1 = 4 , S n = na n + 2 ? (1)求数列 {an }的通项公式;
2

n(n ? 1 ) , ≥ 2, n ∈ N * ) ; (n 2
* *

(2)设数列 {bn }满足: b1 = 4 ,且 bn+1 = bn ? (n ? 1)bn ? 2 ,( n ∈ N ) ,求证: bn > an ( n ≥ 2, n ∈ N ) ; (3)若(2)问中数列 {bn } 满足 bn > a n ( n ≥ 2, n ∈ N ) ,
*

求证: ?1 + ?

? ?

? 1 ? 3 1 ?? 1 ?? 1 ? ??1 + 。 ?? b b ??1 + b b ? LL?1 + b b ? < e (其中为自然对数的底数) ?? ? ? ? b2b3 ?? 3 4 ?? 4 5 ? n n +1 ? ?

-6-

代数综合练习(二)参 考 答 案 综合练习(
一、选择题,每小题 5 分,共 60 分, 选择题, 1 A 2 A 3 D 4 D 5 C 6 B 7 A 8 A 9 B 10 B 11 C 12 B

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 填空题: 13、 2 14、1 15、

π
6

2 16、 2

小题, 解答应写出文字说明、证明过程。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程。 解答题: 17、 (本小题满分 12 分) 解: (1)由 f ( 3) = 2 ? 3, f (0) = 1, 得a = ?1, b = 1 , 于是 f ( x) = 1 + x 2 ? x( x ≥ 0) ------------------------------------3 分 ,此函数在 [ 0, +∞ ) 是单调减函数, 1 + x2 + x 从而 f ( x ) 的值域为 (0,1] 。------------------------------6 分 由 f ( x) = (2) 假定存在的实数 m 满足题设,即 f(m2-m) < f(3m ? 4)和 g ( 又 f( )=?

1

3 3 3 1 1 3 + 1 + ( )2 = ∴ g( ) = , 4 4 4 2 2 4 由 f ( x ) 的值域为 (0,1] ,则 g ( x ) 的定义域为 (0,1] 已证 f ( x ) 在 [0, +∞ ) 上是减函数,则 g ( x ) 在 (0,1] 也是减函数,

m ?1 3 ) > 都成立 4 4 m ?1 1 ∴ g( ) > g ( ) ---------8 分 4 2

由减函数的定义得

?m 2 ? m > 3m ? 4 ≥ 0 ? -------------------------------------------------11 分 ? m ?1 1 < <1 ?0 < ? 4 2 4 解得, ≤ m < 3 且 m ≠ 2 . 3 因此存在实数 m 使得命题: p 且 q 为真命题, 4 且 m 的取值范围为 [ , 2) U (2,3) .------12 分 3

18、 (本小题满分 12 分) 解: (1)由函数 f ( x ) 是偶函数可知: f ( x ) = f ( ? x )

-7-

∴ log 4 (4 x + 1) + kx = log 4 (4 ? x + 1) ? kx

………………………2 分

4x + 1 = ?2kx 即 x = ?2kx 对一切 x ∈ R 恒成立 ………………………4 分 4? x + 1 1 ∴k = ? ………………………5 分 2 (2)函数 f ( x) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点 1 4 x x 即方程 log 4 (4 + 1) ? x = log 4 ( a ? 2 ? a ) 有且只有一个实根 …………………7 分 2 3 1 4 x x 化简得:方程 2 + x = a ? 2 ? a 有且只有一个实根 2 3 4 x 2 令 t = 2 > 0 ,则方程 (a ? 1)t ? at ? 1 = 0 有且只有一个正根 ………………9 分 3 3 ① a = 1 ? t = ? ,不合题意; ………………………10 分 4 3 ② ? = 0 ? a = 或 ?3 ………………………11 分 4 3 1 1 若 a = ? t = ? ,不合题意;若 a = ?3 ? t = ………………………12 分 4 2 2 ?1 ③一个正根与一个负根,即 < 0 ? a >1 a ?1 综上:实数 a 的取值范围是 {?3} ∪ (1, +∞) ………………………13 分 log 4

19、

P (ξ = 0) = 0.5 2 × 0.6 2 = 0.09
1 1 P (ξ = 1) = C 2 0.5 2 × 0.6 2 + C 2 0.5 2 × 0.4 × 0.6 = 0.3 1 1 P (ξ = 2) = C 22 0.5 2 × 0.6 2 + C 2 C 2 × 0.5 2 × 0.4 × 0.6 + C 22 0.5 2 × 0.4 2 = 0.37 1 1 P (ξ = 3) = C 22 C 2 × 0.5 2 × 0.4 × 0.6 + C 2 C 22 0.5 2 × 0.4 2 = 0.2

P (ξ = 4) = 0.5 2 × 0.4 2 = 0.04 随机变量 ξ 的概率分别为:

ξ

P

Eξ = 0 × 0.09 + 1× 0.3 + 2 × 0.37 + 3 × 0.2 + 4 × 0.04 = 0.625

0 0.09

1 0.3

2 0.37

3 0.2

4 0.04

20、 (本小题 12 分) 解: (1) f ( x ) = sin

π

4 6 4 3 π 3 π = sin x ? cos x 2 4 2 4
= 3 sin(

x cos

π

? cos

π

x sin

π
6

? cos

π
4

x

π

x? ) 4 3

π

……

4分

-8-

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =



π

=8

……

5分

( 2) 在 y = g ( x ) 的图象上任取一点 ( x, g ( x )) ,它关于 x = 1 的对称点 (2 ? x, g ( x )) … 7 分 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x )) 在 y = f ( x) 的图象上,从而

4

g ( x) = f (2 ? x) = 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3
= 3 sin[

π

π

π

2

?

π

x+ ) 4 3 π π π 2π 4 当 0 ≤ x ≤ 时, ≤ x + ≤ 3 3 4 3 3 4 π 3 因此 y = g ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值为 g max = 3 cos = 3 3 2
= 3 cos( 21、 ( 21、 本小题满分 12 分) (1) 、解: 当a = 0时,f ( x) = x 2 e x ,f ' ( x) = ( x 2 + 2 x)e x,故f ' (1) = 3e.

π

x? ] 4 3

π

π

…… …… ……

10 分 11 分 13 分

所以曲线y = f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为3e.
(2) 解:f ' ( x) = x + ( a + 2) x ? 2a + 4a e . 、
2 2 x

[

]

…… 2 分

令f ' ( x) = 0,解得x = ?2a,或x = a ? 2.由a ≠
以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 知, 2a ≠ a ? 2. …… 4 分 ? 3

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3 ? 2a

(? ∞, 2a ) ?

(? 2a,a ? 2)

a?2

(a ? 2, ∞ ) +

+ 0 — 0 + f ' ( x) f (x) ↘ 极小值 ↗ ↗ 极大值 所以f ( x)在(?∞, 2a), ? 2, ∞)内是增函数,在(?2a,a ? 2)内是减函数. ? (a + 函数f ( x)在x = ?2a处取得极大值f (?2a ),且f (?2a ) = 3ae ?2a . 函数f ( x)在x = a ? 2处取得极小值f (a ? 2),且f (a ? 2) = (4 ? 3a )e a ? 2 . …… 8 分 (2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3 a?2

(? ∞,a ? 2)

(a ? 2, 2a ) ?

? 2a

(? 2a, ∞ ) +

+ 0 — 0 + f ' ( x) f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f ( x)在(?∞,a ? 2), 2a, ∞)内是增函数,在(a ? 2, 2a)内是减函数。 (? + ? 函数f ( x)在x = a ? 2处取得极大值f (a ? 2),且f (a ? 2) = (4 ? 3a )e a ? 2 . 函数f ( x)在x = ?2a处取得极小值f (?2a ),且f (?2a ) = 3ae ?2a . …… 12 分 22. (本小题满分 14 分)
* (1)解、当 n ≥ 3, n ∈ N 时,

-9-

S n = na n + 2 ?
两式相减得:

n(n ? 1 ) (n ? 1)(n ? 2) ,S n ?1 = (n ? 1)a n?1 + 2 ? , 2 2

a n = na n ? (n ? 1)a n ?1 ?
∴ a n ? a n ?1

n ?1 ? 2, 2 = 1(n ≥ 3, n ∈ N * )

……2 分

Q a1 + a 2 = 2a 2 + 2 ? 1,∴ a 2 = 3

?4 LL (n = 1) ? 可得: a n = ? ?n + 1LL (n ≥ 2, n ∈ N *) ?
2

…… 4 分

( 2 )、证明: ①当 n = 2 时, b2 = b1 ? 2 = 14 > 3 = a2 ,∴ bn > an 成立;…… 5 分 ②假设当 n = k ( k ≥ 2, k ∈ N * ) 时, bk > ak 成立,即 bk > n + 1 , 那么,当 n = k + 1 时,

bk +1 = bk2 ? (k ? 1)bk ? 2 = bk (bk ? k + 1) ? 2 > 2bk ? 2 > 2(k + 1) ? 2 ≥ k + 2 , 所以,当 n = k + 1 时, bn > an 也成立 。 …… 8 分
根据①,②可知, bn > an ( n ≥ 2, n ∈ N ) 。
*

…… 9 分

(3) 、证明:设 f ( x ) = ln( x + 1) ? x , f ( x ) =
'

1 ?x ?1 = ,易知, 1+ x 1+ x f (x) 在 (0,+∞ ) 上单调递减,所以,当 x ∈ (0,+∞ ) 时, f ( x) < f (0) 因此 ln( x + 1) < x( x ∈ (0,+∞ ) 。 1 1 1 * 由⑴、⑵知 bn > a n ( n ≥ 2, n ∈ N ) ,即 < = , …… 11 分 bn an n + 1 1 1 1 1 1 < = ? ln(1 + )< , bn bn +1 bn bn +1 (n + 1)(n + 2) n + 1 n + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln(1 + ) + ln(1 + ) + LL + ln(1 + ) < ( ? ) + ( ? ) + LL + ( _ ) b2 b3 b3b4 bn bn +1 3 4 4 5 n +1 n + 2 1 1 1 = ? < 3 n+2 3 ? ? 1 ? 3 1 ?? 1 ?? 1 ? 所以, ?1 + ? b b ??1 + b b ??1 + b b ? LL?1 + b b ? < e ?? ?? ? ? ? …… 14 分 2 3 ?? 3 4 ?? 4 5 ? n n +1 ? ? ?

- 10 -



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