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2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义:第43讲简单的线性规划问题含答案

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第 43 讲 简单的线性规划问题
1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示平面区域 (1)二元一次不等式 Ax+By+C>0(或<0)表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点 组成的平 面区域. (2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的 交集 ,即各个 不等式所表示的平面区域的 公共部分 . (3)画或判断二元一次不等式表示的平面区域常采用 直线 定界, 特殊点 定“域”. 2.线性规划的有关概念 (1)线性约束条件——由条件列出的二元一次不等式组; (2)线性目标函数——由条件列出的一次函数表达式; (3)线性规划——求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值 问题,称为线性规 划问题. (4)可行解、可行域、最优解:满足线性约束条件的解(x,y)叫做 可行 解,由所有 可行 解 组成的集合叫做可行域,使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做 最优 解. 3.利用线性规划求最值的一般步骤: (1)根据线性约束条件画出可行域; (2)设 z=0,画出直线 l0; (3)观察、分析、平移直线 l0,从而找到最优解; (4)求出目标函数的最大值或最小值.
热身练习
1.下列各点中,不在 x+y-1≤0 表示的平面区域内的点是(C) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-1)
将上述各点代入不等式检验,若满足不等式,则点在所表示的平面区域内,否则,不 在.
因为(0,0),(-1,1),(2,-1)都满足不等式,所以这些点都在所表示的平面区域内,而 (-1,3)不满足不等式,故选 C.
2.如图所示,不等式 2x-y<0 表示的平面区域是(B)

直线定界,因为 2x-y=0 不经过(2,1)点排除 D,2x-y<0 不包括边界,排除 A,再取特 殊点(1,0)代入得 2-0>0,故(1,0)不在 2x-y<0 表示的区域内,故排除 C,选 B.

??x≥0, 3.不等式组?x+3y≥4,
??3x+y≤4

所表示的平面区域的面积等于(C)

32 A.2 B.3
43 C.3 D.4

不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集,作出不等式组表示的 平面区域如右图:
所以 S 阴=12×??4-43??×1=43.
4.目标函数 z=x+2y,将其看成直线方程时,z 的意义是(C) A.该直线的截距 B.该直线的纵截距 C.该直线纵截距的 2 倍 D.该直线纵截距的12
将 z=x+2y 化为 y=-12x+2z,可知 z=2b,表示该直线的纵截距的 2 倍.
5.(2015·北京卷)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一点,则 z=2x+3y 的最大值为 7 .
把 z=2x+3y 变形为 y=-23x+13z,通过平移直线 y=-23x 知,当过点 A(2,1)时,z=2x +3y 取得最大值且 zmax=2×2+3×1=7.

求线性目标函数的最值

??x-2y-2≤0, (2018·全国卷Ⅰ)若 x,y 满足约束条件?x-y+1≥0,
??y≤0,

则 z=3x+2y 的最大值为______.

作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.

由 z=3x+2y 得 y=-32x+2z.
作直线 l0:y=-32x,平移直线 l0,当直线 y=-32x+2z 过点(2,0)时,z 取最大值,zmax=3×2+2×0=6.
6 (1)对线性目标函数 z=Ax+By 中的 B 的符号一定要注意.当 B>0 时,当直线过可行域 且在 y 轴上截距最大时,z 值最大,在 y 轴上截距最小时,z 值最小;当 B<0 时,当直线过可行域 且在 y 轴上截距最大时,z 值最小,在 y 轴上截距最小时,z 值最大. (2)由于最优解是通过图形来观察的,故作图要准确,否则观察结果就可能有误.

1.(2017·全国卷Ⅲ)设 x,y 满足约束条件

??3x+2y-6≤0, ?x≥0, ??y≥0,

则 z=x-y 的取值范围是(B)

A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3]
画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.

由题意可知,当直线 y=x-z 过点 A(2,0)时,z 取得最大值,即 zmax=2-0=2;当直线 y=x-z 过点 B(0,3)时,z 取得最小值,即 zmin=0-3=-3.
所以 z=x-y 的取值范围是[-3,2]. 求非线性目标函数的最值

??x-1≥0, 若 x,y 满足约束条件?x-y≤0,
??x+y-4≤0,

则yx的最大值为____________.

画出可行域如图阴影所示,

因为yx表示过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率, 所以在点 A 处时,yx最大.

由???x=1, ??x+y-4=0,

得???x=1, ??y=3.

所以 A(1,3).

所以yx的最大值为 3.
3 求非线性目标函数的最值问题,关键是从目标函数联想到相对应的几何意义,常见的是 两点连线的斜率和两点间的距离,在此基础上再利用数形结合的思想方法进行求解.

??x+y≤2, 2.(2016·山东卷)若变量 x,y 满足?2x-3y≤9,
??x≥0,

则 x2+y2 的最大值是(C)

A.4 B.9 C.10 D.12
作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.

x2+y2 表示平面区域内的点到原点距离的平方,

由???x+y=2, ??2x-3y=9

得 A(3,-1),

由图易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.故选 C. 线性规划在实际问题中的应用
某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每 天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业 每天可获得最大利润为

甲 乙 原料限额

A(吨)

32

12

B(吨)

12

8

A.12 万元 B.16 万元

C.17 万元 D.18 万元

设出甲、乙两种产品的数量,列出关系式,转化为线性规划问题,画出可行域求解.

??3x+2y≤12, 设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨,每天所获利润为 z 万元,则有?x+2y≤8,
??x≥0,y≥0,

z=3x+4y, 作出可行域如图阴影部分所示,

由图可知,当直线 z=3x+4y 经过点 A(2,3)时,z 取最大值,最大值为 3×2+4×3=18. D 建立线性规划问题的数学模型的一般步骤:
①设出所求未知数;②列出约束条件(即不等式组);③建立目标函数;④作出可行域;⑤运用 图象法求出最优解.
3.(2016·全国卷Ⅰ·理)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料,生产一 件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材 料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2 100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该 企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的 利润之和的最大值为 216 000 元.
设生产产品 Ax 件,产品 By 件,则
?? 1.5x+0.5y≤150, x+0.3y≤90,
?5x+3y≤600, ??x≥0,x∈N*,
y≥0,y∈N*.
画出可行域,如图:

目标函数 z=2 100x+900y.

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点,图中阴影四边形的顶点坐标分别为 (60,100),(0,200),(0,0),(90,0).
当直线 z=2 100x+900y 经过点(60,100)时,z 取得最大值,zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).
1.画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界,特殊点定“域”;不等式组表示的平 面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集,是它们平面区域的公共部分.
2.对线性目标函数 z=Ax+By 中的 B 的符号一定要注意.当 B>0 时,当直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最大,在 y 轴上截距最小时,z 值最小;当 B<0 时,当直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最小,在 y 轴上截距最小时,z 值最大.
3.常见目标函数有截距型(ax+by=z),距离型(z= ?x-x0?2+?y-y0?2),斜率型(z=xy--xy00)几种. 4.最优解一般在可行域的顶点处或边界取得,要注意边界的虚实.此外解选择、填空题常常 可先求可行域的顶点,再代入目标函数验算. 5.建立线性规划问题的数学模型的一般步骤: (1)明确问题中的有待确定的未知量,并用数学符号表示; (2)明确问题中所有的限制(约束)条件,并用线性方程或线性不等式表示; (3)明确问题的目标,并用线性函数(目标函数)表示,按问题的不同,求其最大值或最小值. 其中分析题目的已知条件准确找出约束条件和目标函数是关键,可以把题目涉及的量分类列 出,理清思路,然后列出不等式(或方程组)确定约束条件和目标函数.如果可行域是一个多边形, 那么一般在其顶点处取得最优解.



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