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广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题(含解析)

发布时间:

韶关市 2014 届高三摸底测试数学(理科)试题
本卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分,满分 150 分.考试用时间 120 分钟. 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上;2.第 I 卷每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。答在第Ⅰ卷上不得分; 3.考试结束,考生只需将第Ⅱ卷(含答卷)交回。 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的.) 1.若集合 M ? {x | x 2 ? 1} , N ? {x | y ? C. ?

1 } ,则 M ? N =( x



A. N

B. M

D. {x | 0 ? x ? 1} ) D.第四象限 ) D. y ? x x

2.已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? i ,则

z1 在平面内对应的点位于( z2

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 3.下列函数中,既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
3

C. y ?

1 x

4.某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的四边形都是边长为 2 的正 方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是 A.

20 3

B.

4 3

C. 6

D. 4

5.已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合终边在直线

3? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 2 x ? y ? 0 上,则 ? ( ? sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2 sin(
A.-2 B.2 C.0

主视图

)
2 3
俯视图

D.

?y ? 0 ? 6.若实数 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值等于 ( ?x ? 2 y ? 4 ?
A.2 B.3 C.4 D.1 ) D.

)

? ? ? ? ? ? ? ? 7 若 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a 的夹角为(
A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

5? 6

8.符号 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,例如 [? ] ? 3 , [?1.08] ? ?2 ,定义函数 {x} ? x ? [ x] ,给出下列 四个命题:(1)函数 {x} 的定义域为 R ,值域为 [0,1] ;(2)方程 { x} ? 期函数;(4)函数 {x} 是增函数.其中正确命题的个数有( A.1 B.2 C.3 ) D.4

1 有无数个解;(3)函数 {x} 是周 2

二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)、必做题9~13题

x2 y 2 9.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 3
2



10 . 二 项 式 (2 x ? 是

1 6 ) 展 开 式 中 含 x2 项 的 系 数 x
开始 . 输入 a1 、 a 2 、……、 a 50

11. 某班数学Ⅰ测试的卷面成绩从高到低依次为 a1 、 2 、 a 50 , a … 小兵设计了一个程序框图(如图),计算并输出本次测试卷 面成绩最高的前 30 名学生的平均分 a .图 3 中,语句(1) 是 ,语句(2)是 . ;

i ? 1, s ? 0
(1)
是 (2)

i ? i ?1


s ? s ? ai

12.已知 g ( x ) ? x ? 1 ? x ? 2 ,则 g ( x ) 的值域为
2

若关于 x 的不等式 g ( x) ? a ? a ? 1( x ? R) 的解集为空集,则 输出 a 实数 a 的取值范围是 . 结束 13.在 Rt? ABC 中, CA ? CB ,斜边 AB 上的高为 h1 ,则

1 1 1 ? ? ; 类比此性质, 如图, 在四面体 P ? ABC 中, 2 2 h1 CA CB 2
若 PA , PB , PC 两两垂直,底面 ABC 上的高为 h ,则得到的正确结 .. 论为_________________________. (二)、选做题(14~15题,考生只能从中选一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知圆的极坐标方程为 ? ? 2cos ? , 则 该 圆 的 圆 心 到 直 线 ? sin ? ? 2? cos ? ? 1 是 . 的 距 离
B O A E C D

15.(几何证明选讲选做题) 如图,圆 O 的直径 AB ? 9 ,直线 CE 与圆 O 相切于点 C , AD ? CE

于 D,若 AD ? 1 ,设 ?ABC ? ? ,则 sin ? ? ______.

2014届高三摸底测试数学(理科)试题
题号 O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线 分数 一 二 三 16 17 18 19 20 21 总分

一.选择题答卷: 题号 答案 二、填空题答卷: 9.________________________ 11.__________ ______________. 13.________________________. ??????????????????????O 15. 10.________________________ 12.____________ ______________. 14. ___________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

学校:_______________姓名:_______________考号:_______________

第Ⅱ卷(解答题共 80 分)
三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分. 解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2cos ? x ( x ? R,? ? 0 ),其图象相邻两条对称轴之间的距
2

离等于

? 4 ? ?? (2)当 x ? ? 0, ? 时,求函数 f (x) 的最大值和最小值及相应的 x 值. ? 2?
(1)求 f ( ) 的值;

? . 2

17.(本小题满分 13 分) 某高校在 2011 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95, 100]得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用 分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试. 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 分数 频率 组距

75 80 85 90 95 100 ① 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生 甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率; ② 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官的面试,设第4组中有X名学生被考官面 试,求X的分布列和数学期望.

18.(本小题满分 13 分) 如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AD ? AA1 ? 1, (1)锥 D1 ? DCE 的体积; (2) D1E ? A1D ; (3)求二面角 D1 ? EC ? D 的正切值.

AB ? 2 ,点 E 是 AB 的中点.

19.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A( ? 2, 0) , B( 2, 0) , E 为动点,且直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为 ?

1 . 2

(1)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F (1,0) 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M , N .若点 P 在 y 轴上,且

PM ? PN ,求点 P 的纵坐标的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: Sn ? (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

a (an ? 1) ( a 为常数,且 a ? 0, a ? 1 ). a ?1

2Sn ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值; an
1 1 ? ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , 1 ? an 1 ? an ?1

(3)在满足条件(2)的情形下,设 cn ?

1 求证: Tn ? 2n ? . 3

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ?

1 2 ax ? bx (a ? 0) . 2

(1)若 a ? ?2 , 函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域是增函数,求 b 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设函数 ?(x)=e2x +bex ,x∈[0,ln2],求函数?(x)的最小值; (3)设函数 f (x) 的图象 C1 与函数 g (x) 的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴 的垂线分别交 C1、C2 于点 M 、 N ,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平 行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

2014 届摸底测试数学(理科)试题 参考答案和评分标准
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的) 题号 答案 1、解析: D 1 D 2 D 3 D 4 A 5 B 6 C 7 B 8 B

M ={ x | -1<x<1}, N={ x | x ? 0 }
3 1 ? i 2 2

M ? N = {x | 0 ? x ? 1}

2. 解析:D. 原式=

3.解析:D.由定义可知 f ( x ) 是奇函数,又 f ( x ) ? ? 增函数. 4.解析:A. V ? 2 ?
3

? x2 , x ? 0 ? ,由图象可知 f ( x ) 在定义域上是 2 ?? x , x ? 0 ?

5. 解析: 由已知可得, ? ? 2 , 原式 ? B tan 6. 解析: C

? cos ? ? cos ? ?2 ? ?2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 如图作出不等式组表示的三角形区域, 当直线 y ? ? x ? z
2 o

4 20 ? 3 3

y

过 (4,0) 时, z 最大, zmax ? 4 7. 解析:B 利用向量线性运算的几何意义和平几性质. 8.解析:B ②,③正确

x 1 4

-1

第二部分 非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,其中 9~12 题是必做题,13~15 题是选做题. 每小题 5 分,满分 30

分. 9. 6 ;10. -192;11. ⑴ i ? 30 (或 i ? 31 、…);⑵ a ? 12. ?1 ? g ( x) ? 1 (3分), ( ??, ?1) ? (0, ??)
1 1 1 1 13. h 2 ? PA2 ? PB 2 ? PC 2 ;

s s (或 a ? 、…) 30 i ?1

(2分) ;

14.

5 1 ; 15. 5 3

9. 解析:双曲线

x2 y 2 P ? ? 1 的右焦点 F (3,0) 是抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点,所以, ? 3 , 6 3 2

P?6
r 10.解析:-192.T r ?1 =(-1) r C6 ( 2 x ) 6? r (

1 x

) r =(-1) C6 2 6? r x 3? r ,
r

令 3 ? r ? 2 ,得 r ? 1 ,

因此,展开式中含 x 项的系数是-192. 11.答案:⑴ i ? 30 (或 i ? 31 、…);⑵ a ?

2

s s (或 a ? 、…) 30 i ?1
(2分)

12..答案: ?1 ? g ( x) ? 1 (3分), ( ??, ?1) ? (0, ??)

解析: [-1,1] .本题考查绝对值的意义,含参绝对值不等式的解法. 当 x≤1 时,g(x)=|x-1|-|x-2|=-1 当1<x≤2时,g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3,所以-1< g ( x) ≤1 当 x>2时,g(x)=|x-1|-|x-2|=1,综上, ?1 ? g ( x) ? 1 (此结果也可以由绝对值的几何意义直接得 出)

g ( x) ? a 2 ? a ? 1( x ? R) 的 解 集 为 空 集 , 就 是 1= [ g ( x) ]max < a 2 ? a ? 1 所 以

a ? ( ? ? ? ) ? ( 0 , .? ) , 1 ?
13.解析: 1 ? 1 ? 1 ? 1 .连接 CO 且延长交 AB 于点 D ,连 PD ,由已知 PC ? PD , h 2 PA2 PB 2 PC 2 在 直 角 三 角 形 PDC 中 , D C ? P D ? h ?
所以

P, 即 C

PD 2+PC 2 ?h ? PD?PC ,

1 PD 2 ? PC 2 1 1 容易知道 AB ⊥平面 PDC ,所以 AB ? PD ? ? ? h 2 PD 2 ? PC 2 PC 2 PD 2

2 2 在直角三角形 APB 中, AB ? PD ? PA ? PB ,所以 PA +PB ?PD ? PA?PB ,

1 PA2+PB 2 1 1 ? = 2 + 2 ,故 12 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 。 2 2 2 PD PA ? PB PA PB h PA PB PC
(也可以由等体积法得到) ▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分. 14. 解析: D O

5 . 直线 ? sin ? ? 2? cos ? ? 1 化为直角坐标方程是 2 x ? y ? 1 ? 0 ; 圆 ? ? 2cos ? 5
B O

的圆心(1,0)到直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离是 5 5 15.解析:

1 3

由 ?ACB ? ?CDA

可得

AC ? 3

sin ? ?

1 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16. (本小题满分 12分) 解:(1) f ( x) ? sin 2? x ? cos 2? x ? 1 ? 因为

T ? ……… 3 分 ? ,所以 T ? ? , ? ? 1 . 2 2 ? ? 所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 .所以 f ( ) ? 0 ………………7 分 4 4 ? (2) f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 ? ? 3? ? ?? 当 x ? ? 0, ? 时, ? ? 2 x ? ? , ………………………9 分 4 4 4 ? 2? ?? ? ? 所以 当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) max ? 2 ? 1 , ………………11 分 8 4 2
当 2x ?

? 2 sin(2? x ? ) ? 1 . 4

? ? ? ? ,即 x ? 0 时, f ( x)min ? ?2 . 4 4

………………………12 分

17.(本小题满分13分) (1) 解: 第三组的频率为0.06 ? 5=0.3; 第四组的频率为0.04 ? 5=0.2; 第五组的频率为0.02 ? 5=0.1…………………………3分 (2)解: ① 设学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的事件为 M
1 C 28 1 则 P( M ) ? 3 ? C30 145

…………………………………………………………6分

②X的可能取 0,1,2 ,抽取的6人中,第3,4,5组人数分别为3,2,1人

P( X ? 0) ?

1 2 C3 ? 1 ? C3 6 ? 2 C6 15 1 1 1 C 2 ? C3 ? C 2 8 ? 2 C6 15

P( X ? 1) ?

2 C2 1 P( X ? 2) ? 2 ? C6 15

……………………………………………………10分

X P

0

1

2

2 5

8 15

1 15

E?X ? ?

8 1 2 ? ? 2 ? ……………………………………………………13分 15 15 3

18.(本小题满分 13分) (1)解:由长方体性质可得, DD1 ? 面 DCE ,所以 DD1 是三棱锥 D1 ? DCE 的高,又点 E 是 AB 的 中点, AD ? AA1 ? 1,

AB ? 2 , 所以, DE ? CE ? 2 ,

DE 2 ? EC 2 ? CD2 ?DEC ? 90? …………………………………………………2分
三棱锥 D1 ? DCE 的体积 V ?

1 1 1 1 1 DD1 ? ? DE ? CE ? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ……4分 3 2 3 2 3

(2)连结 A D1 , 因为 A1 ADD1 是正方形,所以 AD1 ? A1D 又 AE ? 面 ADD1 A1 A1D ? 面 ADD1 A1 , 所以 AE ? A1 D …………………………6分 又 AD1 ? AE ? A 所以, A1D ? 面 AD1E

D1E ? 面 AD1E , 所以, D1E ? A1D ……………………8分
(3) 因为 DD1 ? 面 ABCD , EC ? 面 ABCD ,所以 DD1 ? EC , 由(1)可知, EC ? DE , 所以, EC ? 面 D1DE ,

DD1 ?DE ? D

………………………………………………10分

DE ? 面 D1DE ,

D1E ? 面 D1DE

EC ? DE , EC ? D1 E
?D1ED 是二面角 D1 ? EC ? D 的平面角
直角三角形 D1DE 中, DD1 ? 1, DE ?

2

tan ?D1ED ?

2 2

二面角 D1 ? EC ? D 的正切值为

2 ………………13分 2
D1

Z C1

解法(二) 如图,以 D 为原点, DA 为 x 轴建立空间坐标系 D ? xyz 因为点 E 是 AB 的中点,且 AD ? AA1 ? 1,
A1

B1 D C Y

AB ? 2
A X E B

则 D1 (0,0,1), E (1,1,0), A1 (1,0,1), D(0,0,0), C (0,2,0)

???? ? ???? ? D1E ? (1,1, ?1) A1D ? ( ?1,0, ?1) ………………………………………………6分 ???? ???? ? ? D1 E ? A1 D = (1,1, ?1) ? ( ?1,0,1) ? 0
所以, D1E ? A1D ……………………………………………………………8分 (3)设 n ? ( x, y , z ) 是平面 D1EC 的法向量,则 n ? D1 E , n ? D1C

?

?

???? ? ?

???? ?

? ???? ? ? ???? ? ?x ? y ? z ? 0 n ? D1 E ? 0 , n ? D1C ? 0 得方程组 ? ?2 y ? z ? 0
所以, n ? (1,1, 2)

令 x ? 1 得 y ? 1, z ? 2

?

…………………………………………………………10分

又 DD1 ? (0,0,1) ,设 n 与 DD1 夹角为 ?

????

?

????

? ???? ? n ? DD1 (1,1,2) ? (0,0,1) 6 则 cos ? ? ? ???? ? ? ? 3 6 ?1 n ? DD1
二面角 D1 ? EC ? D 的正切值为 19(本小题满分 14 分)

tan ? ?

2 2

2 .………………………………………13分 2

解:(1)设动点 E 的坐标为 ( x, y ), y ? ? 2 ,依题意可知

y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2

整理得

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) .………………………………………………………3分 2

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) . ……………………………5 分 所以动点 E 的轨迹 C 的方程为 2
(2)当直线 l 的斜率不存在时,满足条件的点 P 的纵坐标为 0 . ………………7分 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 ? y 2 ? 1 并整理得, 2

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 .

? ? 8k 2 ? 8 ? 0 . …………………………8分
4k 2 , . 2k 2 ? 1

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

2k 2 k 设 MN 的中点为 Q ,则 xQ ? , , yQ ? k ( xQ ? 1) ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
所以 Q(

2k 2 k , ? 2 ) . ………………………………………10分 2 2k ? 1 2k ? 1

由题意可知 k ? 0 , 又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 令 x ? 0 解得 yP ?

1 2k 2 ? ? (x ? 2 ) . 2k 2 ? 1 k 2k ? 1 k
. .………11分

k 2k ? 1
2

?

1 2k ? 1 k

当 k ? 0 时,因为 2k ?

1 2 1 ; ? ? 2 2 ,所以 0 ? yP ? 4 k 2 2 1 2 1 . ?? ? ?2 2 ,所以 0 ? yP ? ? 4 k 2 2
.………13 分

当 k ? 0 时,因为 2k ?

综上所述,点 P 纵坐标的取值范围是 [ ? 20.(本小题满分 14 分)

2 2 , ]. 4 4

.………14 分

a (a1 ? 1), ∴ a1 ? a, a- 1 a a 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? an ? an ?1 , a ?1 a ?1
解:(1)? S1 ?

an ? a ,即 {an } 是等比数列. ∴ an ? a ? a n ?1 ? a n ; an ?1

……………………4 分

(2)由(Ⅰ)知, bn ?

2?

a (a n ? 1) (3a ? 1)a n ? 2a a ?1 ,若 {bn } 为等比数列, ?1 ? an a n (a ? 1)
3a ? 2 3a 2 ? 2a ? 2 , b3 ? , a a2

则有 b2 2 ? b1b3 , 而 b1 ? 3, b2 ?

1 3a ? 2 2 3a 2 ? 2a ? 2 ,解得 a ? , ) ? 3? 2 a a 3 1 1 再将 a ? 代入得 bn ? 3n 成立, 所以 a ? . 3 3
故(

………………………………7 分 …………………………8 分

1 1 3n 3n ?1 1 (3)证明:由(Ⅱ)知 an ? ( ) n ,所以 cn ? ? ? n ? n ?1 1 1 3 1 ? ( )n 1 ? ( )n ?1 3 ? 1 3 ? 1 3 3
3n ? 1 ? 1 3n ?1 ? 1 ? 1 1 1 ? n?1 ?1? n ? 1 ? n ?1 n 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 ………………………………………………… 9 分 ? 2?( n ? n ?1 ) , 3 ?1 3 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 由 n ? n , n ?1 ? n ?1 得 n ? n ?1 ? n ? n ?1 , 3 ? 1 3 3 ?1 3 3 ? 1 3 ?1 3 3 1 3 1 1 所以 cn ? 2 ? ( n …………………… 12 分 ? n ?1 ) ? 2 ? ( n ? n ?1 ) , 3 + 3 ?1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 从而 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [2 ? ( ? 2 )] ? [2 ? ( 2 ? 3 )] ? ?[2 ? ( n ? n?1 )] 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2n ? [( ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ? n ?1 )] ? 2n ? ( ? n?1 ) ? 2n ? . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 即 Tn ? 2n ? .………………………………………………………………14 分 3 21.(本小题满分 14 分) ?
解:(1)依题意: h( x) ? ln x ? x ? bx. ? h(x )在(0,+ ? )上是增函数,
2

? h? x ) ? (
1

1

x

? 2x ? b ? 0 对 x∈(0,+ ? )恒成立,……………………2 分

?b ?

x

? 2x . 1

? x ? 0,则

x

? 2x ? 2 2.

? b的取值范围为 ? ?,2 2 . ……………………………………………………4 分
(2)设 t ? e , 则函数化为y ? t ? bt, t ? [1,2].
x 2

?

?

b b2 ? y ? (t ? ) 2 ? . 2 4 b ?当 ? ? 1,即 ? 2 ? b ? 2 2时, 函数y在[1,2]上为增函数, 2
当 t=1 时,ym I n=b+1;…………………………………………………………6 分

当1 ? ? 当?

b b ? 2,即 ? 4 ? b ? ?2时,当t ? ? 时,y 2 2

min

??

b2 ; 4

b ? 2, 即b ? ?4时, 函数y在[1,2]上是减函数, 2

当 t=2 时,ym I n=4+2b………………………………………………………………8 分

综上所述, 当 ? 2 ? b ? 2 2时, ? ( x)的最小值为b ? 1. 当 ? 4 ? b ? ?2时, ? ( x)的最小值为 ? b2 . 4

当 b ? ?4时, ? ( x) 的最小值为 4 ? 2b. ………………………………………………9 分 (3) 设点 P、 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ), 且0 ? x1 ? x2 . 则点 M、 的横坐标为 x ? Q N

x1 ? x 2 . C1 2

在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

1 2 | x1 ? x2 ? . x x? 2 x1 ? x 2
x ?x x? 1 2 2

C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

?

a( x1 ? x 2 ) ? b. ……………………10 分 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 .



2 a ( x1 ? x2 ) ? ? b. ………………………………………………………11 分 x1 ? x2 2
2 2( x2 ? x1 ) a ( x2 ? x12 ) ? ? b( x2 ? x1 ) x1 ? x2 2



a 2 a ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) 2 2
? y2 ? y1

? ln x2 ? ln x1 ? ln

x2 , x1

x2 ? 1) x 2 2(x 2 ? x1 ) x1 ? ln ? ? . x2 x1 x1 ? x 2 1? x1 2(
设u ?

x2 2(u ? 1) ? 1, 则 ln u ? , u ? 1, x1 1? u

①…………………………………………12 分

2(u ? 1) 1 4 (u ? 1) 2 ?(u ) ? ? 令r (u ) ? ln u ? , u ? 1.则r ? . 1? u u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2 ? u ? 1,? r ?(u ) ? 0 , 所以r (u )在 ?1, ?? ? 上单调递增, 故r (u ) ? r (1) ? 0, 则 ln u ? 2(u ? 1) . u ?1

这 与 ① 矛 盾 , 假 设 不 成 立 。 故 C1 在 点 M 处 的 切 线 与 C2 在 点 N 处 的 切 线 不 平 行. ………………………………………………………………………………………14 分



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