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人教版八年级数学下册17.1勾股定理 公开课课件

发布时间:

SA+SB=SC

C A

B 图甲

A的面积 B的面积 C的面积

图甲 图乙 4 4 8

C
1.观察图甲,小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的
面积各有为什多么少关?系?

SA+SB=SC

A

图乙

C A
B 图甲
图甲 图乙 A的面积 4 9 B的面积 4 16 C的面积 8 25

B C
SA+SB=SC
2.观察图乙,小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的
面积各有为什多么少关?系?

SA+SB=SC
C Aa c
b B 图甲
图甲 图乙 A的面积 4 9 B的面积 4 16 C的面积 8 25

A 图乙 a
Bb c C
SA+SB=SC
2.观察图乙,小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系?

SA+SB=SC C
Aa c b
图甲 B

图乙 a
bc C
SA+SB=SC

3.猜想a、b、c 之间的关系? a2 +b2 =c2

勾股定理(毕达哥拉斯定理) (gou-gu theorem)

如果直角三角形两直角

边分别为a, b,斜边为c, 勾a

c弦

那么

a2 ? b2 ? c2

股b

即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.

勾 股
在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾",下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”, 斜边称为“弦”.

勾股定理的证明

a2 +b2 =c2

勾股定理的证明

a2 +b2 =c2



拼 图

ab

法 证

b

ca



a c cb

ba

3.猜想a、b、c 之间的关系? a2 +b2 =c2

用 拼 图
法a

明b
ac b

∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab

S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形

b

=4· 1 ab+c2
2

c a =c2+2ab

cb a

∴a2+b2+2ab=c2+2ab
∴a2 +b2 =c2

勾股定理的验证

大正方形的面积可以表示为 c2 ;

也可以表示为 4?ab/2+(b- a)2

∵ c2= 4?ab/2 +(b-a)2

c a

=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2

b

∴a2+b2=c2

c a
b

c a
b

c a
b

赵爽弦图

有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明, 就把这一证法称为“总统”证法。

勾股定理的应用
结论变形
直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;

c2=a2 + b2

cb

a

例:求出下列直角三角形中未知边的长度

x 6
8

x
5 13

解:由勾股定理得:
x2=62+82 x2 =36+64 x2 =100 ∵x>0 ∴ x=10

∵ x2+52=132
∴ x2=132-52
x2 =169-25 x2 =144 ∵x>0 ∴ x=12

3.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.

81 144

144 169

z
625 576







例题分析
例.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1) 已知:a=6,b=8,求c;

(2) 已知:a=40,c=41,求b;

方法 小结

(3) 已知:c=13,b=5,求a; (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.

(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.

试一试:
1、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米



试一试:

2、隔湖有两点A、B,从与BA方向成直

角 的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12

米,则AB为

(A)

A.5米 B.12米 C.10米 D.13米

A

13

?

C 12 B

试一试:

3、一个直角三角形的三边长为三个连续

偶数,则它的三边长分别为

( B)

A 2、4、6

B 6、8、10

C 4、6、8

D 8、10、12

试一试:
4、已知:Rt△ABC中,AB=4,AC=3,则

BC的长为 5 或 7 . B

B

4

4

C3 A

A3 C

课堂练习: 一判断题.
1.?ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ? ) 2.? ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ? )
二填空题 1.在? ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
?ABC面积为__24___,斜边为上的高为___4_.8__.
A
D

C

B

二填空题 1.在? ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则 a=__6__,b=_8__.
(2)若a=9,b=40,则c=_4_1____. 2.在? ABC中, C=90°,若 AC=6,CB=8,则?ABC面积为 __2_4__,斜边为上的高为_4_._8___.

应用知y识=回0 归生活
1、如图,受台风麦莎影响,一棵树在离地面4米处断裂, 树的顶部落在离树跟底部3米处,这棵树折断前有多高?
4米
3米

应用知y识=回0 归生活
2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸, 求两孔中心A、B之间的距离
40

A
90 C
160

B 40

例题分析
例2.已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .
(1)求高AD的长;
A
(2)求S△ABC .
6?
B 3D C

练一练 已知:如图,等边△ABC的高AD是 3 .
(1)求边长;
A
(2)求S△ABC .
2x 3
B xD C

如图,折叠长方形(四个角都是直角, 对边相等)的一边,使点D落在BC 边上的点F处,若AB=8,AD=10. (1)你能说出图中哪些线段的长? (2)求EC的长.

A

10

D

8 10 B6

8-x E 8-x x F4 C

蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点,一共爬了多

少厘米?(小方格的边长为1厘米)

A

G

提示

B

E





直 角

C

F







D

勾股小常识:勾股数
1、 a?+b?=c?,满足(a,b,c)=1,a,b,c 为基本勾股数.如:3、4、5 ; 5、12、 13;6、8、10;7、24、25…… 2、如果a,b,c是一组勾股数,则ka、 kb、kc(k为正整数)也是一组勾股 数,如:6、8、10;9、12、15…… 3、一组勾股数中必有一个数是5倍 数。

试一试:
在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一道 有趣的问题,这个问题的意 思是:有一个水池,水面是 一个边长为10尺的正方形,在 水池的中央有一根新生的芦 苇,它高出水面1尺,如果把 这根芦苇垂直拉向岸边,它 的顶端恰好到达岸边的水面, 请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各是多少?

D

C

B

A

一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
AC 2 ? AB2 ? BC2 ?12 ? 22 ? 5 D C
因此,AC= 5 ≈2.236 2m
因为AC_大__于___木板的宽,
AB
所以木板__能__ 从门框内通过.

一个3m长的梯子AB,斜 A 靠在一竖直的墙AO上, 这时AO的距离为2.5m, C 如果梯子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗?

O

B

D

分析:DB=OD-OB,求BD,可以 先求OB,OD.
在Rt△AOB中,
在Rt△AOB中,
OB 2 ? A__B_2_?__A_O__2 _?_3_2__?_2_._5_2 _?_2_._7_5, A

OB ? _______2__.7__5_?__1_._6_5_8_____ .

C

在Rt△COD中, OD 2 ? _C__D_2_?__O_C__2 _?__3_2 _?_2_2__?_5___,

OD ? ________5___?__2__.2__3_6_____ .

O

B

D

BD ? _O_D_-__O_B__=__2_._2_3_6_-__1_._6_5_8__≈_0_._5_8___ .

梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_0_._5_8 _m__.

如图,在△ABC中,AB=AC,D点在CB延长线上,

求证:AD2-AB2=BD·CD

A

证明:过A作AE⊥BC于E

∵AB=AC,∴BE=CE

D 在Rt △ADE中, AD2=AE2+DE2 B E

C

在Rt △ABE中, AB2=AE2+BE2

∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)

= DE2- BE2 = (DE+BE)·( DE- BE) = (DE+CE)·( DE- BE) =BD·CD

观察下列表格:

列举

3、4、5

……

5、12、13

7、24、25

13、b、c

猜想
32=4+5 52=12+13 72=24+25
…… 132=b+c

请你结合该表格及相关知识,求出b、c的值. 即b= 84 ,c= 85

如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分 别等于55cm,10cm和6cm,A和B是这个台阶的 两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可 口的食物。请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台 阶面爬到B点,最短线路是多少?

A

A

B

C

B

二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m, 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物,它爬行的最短路线长为多少?

B

C

B

A

A

分析:由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的,故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短,可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处,即AB长为最短 路线.(如图)

解:AC = 6 – 1 = 5 ,

BC

=

24

×

1 2

= 12,

由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .

三、长方体中的最值问题
例4、如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发, 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图 所示),问怎样走路线最短?最短路线长为多少?

D1 A1 D

A

4

分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路

C1 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股

B1

1 C

定理可求得图1中AC1爬行的路线最

2 B

短.

D1

C1



1

D

C

2

A

4

B

A1


A

4

B1

C1

1

B2 C

AC1 =√42+32 =√25 ;

AC1 =√62+12 =√37 ;

D D1

C1

2


A 1 A1

4

B1

AC1 =√52+22 =√29 .

如图,小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片,使A与B重合,折痕为DE,若已知 AC=10cm,BC=6cm,你能求出CE的长吗?

D

B

A

C

E

如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A 与顶点C重合在一起,EF为折痕。若 AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方 形面积。

E

D

C

A

GF

B

如图,有两棵树,一棵高8m,另一棵高2m, 两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞 到另一棵树的树梢,至少飞了 ( )
A.7m B.8m C.9m D.10m
A

8m
C

B
2m
8m

练习
在等腰△ABC中,AB=AC=13cm , BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上 的高。
A
提示:利用面积相等的关系

13

13

1 BC? AD ? 1 AC? BH

2

2

H

B 10 D C

如图,∠ACB=∠ABD=90°,CA=CB,

∠DAB=30°,AD=8,求AC的长。

D

解:∵∠ABD=90°,∠DAB=30°

C

又AD=8

∴BD=

1
AD=4

2

A

8
30°

B

在Rt△ABD中 ,根据勾股定理

AB2 ? AD2 ? BD2 ? 82 ? 42 ? 48

在Rt△ABC中, AB2 ? CA2 ? CB2 ,且CA ? CB

? AB2 ? 2CA2
? AC ? 2 6

?CA2 ? 1 AB2 ? 24 2

数学奇闻
聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物,它自 己腰杆不硬,为了得到阳光的沐 浴,常常会选择高大的树木为依 托,缠绕其树干盘旋而上。如图 (1)所示。
葛藤又是一种聪明的植物, 它绕树干攀升的路线,总是沿着 最短路径——螺旋线前进的。若 将树干的侧面展开成一个平面, 如图(2),可清楚的看出葛藤 在这个平面上是沿直线上升的。

(1) (2)

聪明的葛藤
有 一棵树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一 根葛藤从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,
请问这根葛藤条有多长?(1丈等于10尺)
C
20尺

A

3×7=21(尺) B

小结: 1、利用数格子的方法,探索了以直角三角形三边 为边长的正方形面积的关系(即两个小正方形的 面积之和等于大正方形的面积)
2、探索了直角三角形的三边关系,得到勾股定理:

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 平方

C cb B a
A

A的面积+B的面积=C的面积
a2+b2=c2

实际问题

抽象

解决
利用勾 股定理

已知两边 求第三边

数学问题
归类 直角三角 形的问题

证法五:(欧几里得证法公元前3世纪)
如图,Rt△ ABC中,∠ACB=90°,四边形ACHK、BCGF、 ABED都是正方形,CN⊥DE,连接BK、CD。

AK=AC ∠KAB=∠CAD
AB=AD

△KAB≌△CAD

S S △KAB = △CAD

1 AK ? AC ? 1 AD? AM

AK ? AC ? AD? AM

G

2

2

H

S S 正方形KACH = 四边形ADNM

C

F

S S 同理: 正方形BCGF = 四边形BENM

K

b

a

c

S S S S 正方形KACH + 正方形BCGF = 四边形ADNM + 四边形BENM

A

M

B

S S S 正方形KACH + 正方形BCGF = 四边形ADEB

∴ a2 ? b2 ? c2

D

N

E

“新娘的轿椅”或“修士的头巾”

再见



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