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高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》易错题汇编含答案

发布时间:

新高考数学《平面向量》专题解析

一、选择题
1.已知 VABC 为直角三角形, C , BC 6, AC 8 ,点 P 为 VABC 所在平面内一点,
2 uuur uuur uuur 则 PC (PA PB) 的最小值为( )

A. 25 2
【答案】A 【解析】 【分析】

B. 8

C.- 17 2

D. 175 8

根据 C



2

,

以C

点建系,



P(x,

y)

,则

uuur PC

uuur (PA



uuur PB)=2(x



2)2



2



y



3 2

2




25 2

,即当

x=2,y= 3 时,取得最小值. 2
【详解】

如图建系, C(0,0), A(8,0), B(0,6) ,

uuur

uuur

设 P(x, y) , PA (8 x, y) , PB (x,6 y) ,

uuur uuur uuur 则 PC (PA PB) (x, y) (8 2x,6 2 y) 2x2 8x 2 y2 6 y



2(x



2)2



2



y



3 2

2




25 2





25 2

.

故选:A.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,

属于中档题.

2.如图,在

ABC

中,

uuur AN



1

uuur NC



P

是线段

BN

上的一点,若

uuur AP



uuur m AB



1

uuur AC



2

5

则实数 m 的值为( )

A. 3 5
【答案】B 【解析】

B. 2 5

C. 14 15

D. 9 10

【分析】

uuur uuur

uuur

根据题意,以 AB , AC 为基底表示出 AP 即可得到结论.

【详解】
uuur uuur uuur uuur
由题意,设 NP NB AB AN ,

uuur uuur uuur uuur
所以, AP AN NP AN

uuur uuur AB AN



uuur AB



1





uuur AN



uuur AB



1



uuur AC



3



uuur AP



uuur m AB



1

uuur AC



5

所以, 1 1 ,且 m ,解得 m 2 .

35

5

故选:B.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用,属于基础题.

uuur
3.已知 O 是平面上一定点,满足 OP

uuur OA (

uuur uuurAB

uuur uuurAC

) , [0 , ) ,

| AB | cos B | AC | cos C

则 P 的轨迹一定通过 ABC 的( )

A.外心

B.垂心

C.重心

D.内心

【答案】B

【解析】

【分析】

uuur

uuur

可先根据数量积为零得出

uuur BC



( |

uuurAB AB | cos

B



|

uuurAC AC | cos

C

)

垂直,可得点

P



BC

的高线

上,从而得到结论.

【详解】

Q

uuur OP

uuur OA (

uuur uuurAB

uuur uuurAC

),

| AB | cos B | AC | cos C

uuur uuur
OP OA (

uuur uuurAB

uuur uuurAC

),

| AB | cos B | AC | cos C

uuur 即 AP



(

uuur uuurAB

uuur uuurAC

),

| AB | cos B | AC | cosC

uuur uuur

uuur uuur

Q

cos B

BA BC uuur uuur

, cos C

CA CB uuur uuur



BA BC

CA CB



uuur BC (

uuur uuurAB

uuur uuurAC

uuur uuur ) BC BC 0 ,

| AB | cos B | AC | cosC

uuur

uuur



uuur BC



( |

uuurAB AB | cos

B



|

uuurAC AC | cos

C

)

垂直,

uuur uuur 即 AP BC ,

点 P 在 BC 的高线上,即 P 的轨迹过 ABC 的垂心.

故选:B.

【点睛】

本题重点考查平面向量在几何图形中的应用,熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何

意义是解题的关键,考查逻辑思维能力和转化能力,属于常考题.

uuuv 4.如图,在 VABC 中, AD AB , BC

uuuv 3BD ,

uuuv AD

1 ,则

uuuv uuuv AC AD





A. 2 3

B. 3 2

C. 3 3

D. 3

【答案】D

【解析】
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv ∵ AC AB BC AB 3BD ,∴ uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv AC AD ( AB 3BD) AD AB AD
uuur uuur 又∵ AB AD ,∴ AB AD 0 ,

uuuv uuuv 3BD AD ,



uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

uuuv

uuuv

AC AD 3BD AD 3 BD AD cos ADB 3 BD cos ADB 3 AD 3



故选 D .

5.在△ABC 中, D 是 BC 中点, E 是 AD 中点, CE 的延长线交 AB 于点 F, 则( )

A.

uuur DF





1

uuur AB



1

uuur AC

62

C.

uuur DF





3

uuur AB



1

uuur AC

42

B.

uuur DF





1

uuur AB



1

uuur AC

34

D.

uuur DF





1

uuur AB



1

uuur AC

26

【答案】A

【解析】

【分析】



uuur AB





uuur AF

,由平行四边形法则得出

uuur AE



4

uuur AF



1 4

uuur AC

,再根据平面向量共线定理

得出得出

=3 ,由

uuur DF



uuur AF



uuur AD

,即可得出答案.

【详解】



uuur AB





uuur AF



uuur AE



1 2

uuur AD



1 4

uuur AB



1 4

uuur AC



4

uuur AF



1 4

uuur AC

因为 C、E、F 三点共线,则 1 =1, =3 44

所以

uuur DF



uuur AF



uuur AD



1

uuur AB



1

uuur AB



1

uuur AC





1

uuur AB



1

uuur AC

322

62

故选:A

【点睛】 本题主要考查了用基底表示向量,属于中档题.

6.如图所示, ABC 中,点 D 是线段 BC 的中点, E 是线段 AD 的靠近 A 的三等分点,



uuuv AC







A.

4

uuuv AD



uuuv BE

3

B.

5

uuuv AD



uuuv BE

3

C.

4

uuuv AD



1

uuuv BE

3

2

D.

5

uuuv AD



1

uuuv BE

3

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量的加减运算求解即可

【详解】

据题意,

uuur AC



uuur DC



uuur DA



uuur BD



uuur AD



uuur BE



uuur ED



uuur AD



uuur BE



2

uuur AD



uuur AD



5

uuur AD



uuur BE



3

3

故选 B.

【点睛】

本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算,是基础题

7.在 ABC

uuur 中, OA

uuur OB

uuur OC



r uuur 0 , AE



uuur 2EB



uuur AB





uuur AC

,若

uuur uuur uuur uuur AB AC 9AO EC ,则实数 ( )

A. 3 3

B. 3 2

C. 6 3

D. 6 2

【答案】D

【解析】

【分析】



uuur AO



uuur EC



uuur AB



uuur AC

表示,再代入

uuur AB



uuur AC



uuur 9 AO



uuur EC

中计算即可.

【详解】
uuur uuur uuur r 由 OA OB OC 0 ,知 O 为 ABC 的重心,

uuur 所以 AO



2



1

uuur ( AB



uuur AC)

32



1 3

uuur ( AB



uuur AC )

,又

uuur AE



uuur 2EB



所以

uuur EC



uuur AC



uuur AE



uuur AC



2

uuur AB



uuur 9 AO



uuur EC



uuur 3( AB



uuur AC)



uuur ( AC



2

uuur AB)

3

3

uuur



uuur AB

uuur AC



uuur 2 2 AB



uuur 2 3AC



uuur uuur AB AC

,所以

uuur 2 AB

2



uuur 2 3AC





| uAuBur | AC

| |



3 6. 22

故选:D

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算,是一道中档题.

8.已知点 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 a2



y2 b2

1(a

b

0) 的左,右焦点,过原点 O 且倾斜

uuuur uuuur uuuur uuuur

角为 60°的直线 l 与椭圆 C 的一个交点为 M ,且 | MF1 MF2 || MF1 MF2 |,则椭圆 C

的离心率为( )

A. 3 1

B. 2 3

C. 1 2

D. 2 2

【答案】A

【解析】

【分析】

uuuur uuuur uuuur uuuur

uuuur uuuur

由 | MF1 MF2 || MF1 MF2 |两边平方,得 MF1 MF2 0 ,在 RtVMF1F2 中,求出

MF2 ,MF1 ,a, c 的关系,求出离心率可得选项.

【详解】

uuuur uuuur uuuur uuuur

uuuur uuuur

将 | MF1 MF2 || MF1 MF2 |两边平方,得 MF1 MF2 0 ,即

MF1 MF2,| OM

|

1 2

F1F2

c.

又 MOF 60 ,∴ MF2 c , MF1

3c ,∴ 2a

3c c ,∴ e c a

3 1.

故选:A.

【点睛】

考查了向量的数量积,椭圆的定义,离心率的求法,关键在于得出关于 a, c 的关系,属于中档

题.

9.在 VABC 中,

E



AC

的中点,

uuur BC



uuur 3BF

,若

uuur AB



r a



uuur AC



r b

,则

uuur EF







A.

2

r a



1

r b

36

B.

1

r a



1

r b

33

C.

1

r a+

1

r b

24

D.

1

r a



1

r b

33

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的运算法则计算得到答案.

【详解】

uuur
EF



uuur EC

uuur CF



1

uuur AC



2

uuur CB



1

uuur AC



2

uuur uuur AB AC



2

uuur AB



1

uuur AC



2

r a



1

r b.

2

3

2

3

36

36

故选: A .

【点睛】

本题考查了向量的基本定理,意在考查学生的计算能力和转化能力.

10.已知平面向量

v a

v ,b

的夹角为

3

,且 |

v a |

2

,|

v b | 1 ,则

av

v 2b



(

)

A. 4
【答案】B

B. 2

C.1

D. 1 6

【解析】

【分析】

根据向量的数量积和向量的模的运算,即可求解.

【详解】

rr r 由题意,可得| a 2b |2 | a |2

r 4 | b |2

r 4a



r b



4



4



4

|

r a

|



|

r b

|

cos



4,

3

rr

所以| a 2b | 2 ,故选 B.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用,其中解答中熟记平面向量的数量积的运

算公式,以及向量的模的运算公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础

题.

11.在菱形 ABCD中, AC 4 , BD 2, E , F 分别为 AB , BC 的中点,则 uuur uuur DE DF ( )

A. 13

B. 5

C.5

4

4

【答案】B

D. 15 4

【解析】

【分析】
uuur uuur 据题意以菱形对角线交点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系,用坐标表示出 DE, DF ,再

根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.

【详解】



AC



BD

交于点

O

,以

O

为原点,

uuur BD

的方向为

x

轴,

uuur CA

的方向为

y

轴,建立直角

坐标系,



E





1 2

,1





F





1 2

, 1



D(1, 0)

uuur , DE







3 2

,1



uuur DF







3 2

, 1



所以

uuur DE

uuur DF



9

1

5

.

44

故选:B.

【点睛】

本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题,难度一般.长方形、正方形、菱形中

的向量数量积问题,如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.

2x y 0

12.已知点 A2,1 ,

O 是坐标原点,点 P x,

y



的坐标满足:



x



2

y



3



0

,设

y 0

uuur uuur z OP OA ,则 z 的最大值是( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

画出约束条件的可行域,转化目标函数的解析式,利用目标函数的最大值,判断最优解,

代入约束条件求解即可.

【详解】

2x y 0

解:由不等式组



x



2

y



3



0

可知它的可行域如下图:

y 0

Q A2,1 , Px, y



z



uuur OP

uuur OA



2x



y

,可图知当目标函数图象经过点

B 1,

2

时,

z

取最大值,

即 z 2x y 4 .

故选:C. 【点睛】 本题考查线性规划的应用,考查转化思想以及数形结合思想的应用,属于中档题.

r

r

rr

rr

13.已知向量 a (cos ,sin ) , b (cos ,sin ) , a b ,则当 t [2,1]时, a tb

的最大值为( )

A. 2
【答案】D 【解析】

B. 3

C.2

D. 5

【分析】

r 根据 a



(cos

,

sin



)



r b



(cos



,

sin



)



r a



r b

,得到

r a

1,

r b

rr 1, a b

0 ,再利

rr rr 用 a tb (a tb)2 1 t2 求解.

【详解】

因为

r a



(cos

,

sin



)



r b



(cos



,

sin



)



r a



r b



r

r

rr

所以 a 1, b 1, a b 0 ,

rr rr 所以 a tb (a tb)2 1 t2 ,

rr
当 t 2,1时, a tb 5 . max

故选:D

【点睛】

本题考查向量的模以及数量积的运算,还考查运算求解能力,属于中档题.

14.如图,在等腰直角 ABC 中, D , E 分别为斜边 BC 的三等分点( D 靠近点 B ),



E



AD

的垂线,垂足为

F

,则

uuuv AF







A.

3

uuuv AB



1

uuuv AC

55

C.

4

uuuv AB

8

uuuv AC

15 15

【答案】D

【解析】

B.

2

uuuv AB



1

uuuv AC

55

D.

8

uuuv AB

4

uuuv AC

15 15

【分析】

设出等腰直角三角形 ABC 的斜边长,由此结合余弦定理求得各边长,并求得

cos DAE ,由此得到

uuur AF



4

uuur AD ,进而利用平面向量加法和减法的线性运算,将

5

uuur AF



4

uuur AD 表示为以

uuur uuur AB, AC

为基底来表示的形式.

5

【详解】

设 BC 6 ,则 AB AC 3 2, BD DE EC 2 ,

AD AE BD2 BA2 2BD BA cos π 10 , cos DAE 10 10 4 4 ,

4

210 5

所以

AF



AF



4

,所以

uuur AF



4

uuur AD .

AD AE 5

5

因为

uuur AD



uuur AB



1

uuur BC



uuur AB



1

uuur uuur AC AB



2

uuur AB



1

uuur AC



3

3

33

所以

uuur AF



4 5





2 3

uuur AB



1 3

uuur AC





8 15

uuur AB



4 15

uuur AC

.

故选:D

【点睛】

本小题主要考查余弦定理解三角形,考查利用基底表示向量,属于中档题.

rr

uuur r r uuur r r uuur r r

15.设 a , b 不共线, AB a 3b , BC a 2b , CD 3a mb ,若 A , C , D 三

点共线,则实数 m 的值是( )

A. 2 3
【答案】D 【解析】

B. 1 5

C. 7 2

D. 15 2

【分析】

uuur r r

rr

rr

计算 AC 2a 5b ,得到 2a 5b 3a mb ,解得答案.

【详解】



uuur AB



r a



r 3b



uuur BC



r a



r 2b

,∴

uuur AC



uuur AB



uuur BC



r 2a



r 5b



uuur uuur

rr

rr

∵ A , C , D 三点共线,∴ AC CD ,即 2a 5b 3a mb ,



2 5



3 m

,解得

m



2 3 15 2

.

故选: D .

【点睛】

本题考查了根据向量共线求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力.

16.如图,向量

r a



r b

等于

ur uur A. 2e1 4e2

ur uur B. 4e1 2e2

r uur C. e1 3e2

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】
r r r uur 由向量减法的运算法则可得 a b e1 3e2 ,

r uur D. e1 3e2

r

r

17.已知向量 a (sin , cos ) , b (1, 2) ,则以下说法不正确的是( )

A.若

r a

/

r /b

,则

tan



1 2

B.若

r a



r b

,则

tan



1 2

C.若

f

(

)



r a

r b

取得最大值,则

tan



1

rr D.| a b | 的最大值为

5 1

2

【答案】B

【解析】

【分析】 A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确

性.C 选项求得 f 的表达式,结合三角函数最值的求法,判断 C 选项的正确性.D 选项利

用向量模的运算来判断正确性.

【详解】

A

选项,若

r a

/

r /b

,则

2sin



cos

,即

tan



1 2

,A

正确.

B

选项,若

r a



r b

,则

sin

2cos

0 ,则 tan

=

-

2 ,B

不正确.

rr C 选项, f ( ) a b sin 2 cos 5 sin( ) ,其中 tan 2 .取得最大值时,

2k , 2k ,

2

2

tan



tan



2k



2







tan



2







1 tan



2

,则 tan



1 2

,则 C

正确.

rr D 选项,由向量减法、模的几何意义可知| a b | 的最大值为 rr a, b 反向.故选项 D 正确.

r 5 1 ,此时 a

5

r b



5

故选:B 【点睛】 本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示,考查向量数量积的运算,考查向量减法的模 的几何意义,属于中档题.

18.向量

r a





1 3

,

tan





r b



cos,1

,且

r a

/

r /b

,则

cos



2













A. 1 3
【答案】D 【解析】

B. 2 2 3

C. 2 3

D. 1 3

【分析】

根据向量平行的坐标运算以及诱导公式,即可得出答案.

【详解】

ar

r //b

1 cos tan sin 3



cos



2











sin







1 3

故选:D 【点睛】

本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用,属于中档题.

19.已知向量

ar



x, 1



r b



1,

3

,若

ar



r b

,则

ar





A. 2

B. 3

C.2

D.4

【答案】C

【解析】



ar



r b



ar





x,

1



r b



1,

3 ,可得: x

3 0,x

3 ,即 ar

3, 1

所以 ar 3 2 12 2

故选 C

uuuv

uuuv

20.在 OAB 中,已知 OB 2 , AB 1, AOB 45 ,点 P 满足

uuuv OP



uuuv OA

uuuv
OB ,



R

,其中







满足

2







3 ,则

uuuv OP

的最小值为(



A. 3 5 5

B. 2 5 5

C. 6 3

D. 6 2

【答案】A

【解析】

【分析】

uuur

uuur

根据 OB 2 , AB 1, AOB 45 ,由正弦定理可得 OAB 为等腰直角三角形,进而求得

uuur 点 A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用 , 表示出 OP .再由 2 3,

uuur

uuur

将 OP 化为关于 的二次表达式,由二次函数性质即可求得 OP 的最小值.

【详解】

uuur

uuur

在 OAB 中,已知 OB 2 , AB 1, AOB 45

uuur

uuur

由正弦定理可得 AB OB

sin AOB sin OAB

代入

1 2



2 sin OAB

,解得 sin OAB 1

2

即 OAB 2

所以 OAB 为等腰直角三角形

以 O 为原点, OB 所在直线为 x 轴,以 OB 的垂线为 y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:

则点 A 坐标为

2, 2

2 2

uuur
所以 OA

2, 2

2 2



,

uuur OB



2,0

uuur uuur uuur

因为 OP OA OB, R

uuur
则 OP

2, 2

2 2







2,0



2 2

2,

2 2





uuur 则 OP



2 2

2 2


2 2



2

2 2 22

因为 2 3,则 3 2
代入上式可得

2 2 3 2 23 2 2

52 18 18



5





9 5

2



9 5

所以当



9 时,

uuur OP

93 5

5

min

5

5

故选:A

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于

中档题.



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