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(免费)2012年考研数学高分策略及复习计划

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2012 年考研数学高分策略及复习计划
分三部分:高等数学、概率与数理统计、线性代数介绍 第一部分:高等数学 《高等数学》第五版 学 一、 数学三试卷结构 此试卷结构参考 11 年考研大纲 同济大 高等教育出版社

种类

内容比例

题型比例

高等数学约 56% 数学三 线性代数约 22% 概率论与数理统计 约 22%

填空题与选择题约 37% 解答题(包括证明题) 约 63%

二、数学复习全年规划 第一阶段 夯实基础,全面复习 主要目标:基本教材阶段。吃透考研大纲的要求,做到准确定位,事无巨细地对大纲涉 及到的知识点进行地毯式的复习,夯实基础,训练数学思维,掌握一些基本题型的解题思路 和技巧,为下一个阶段的题型突破做好准备。 第二阶段 熟悉题型,前后贯通 主要目标:复习全书阶段。大量习题训练,熟悉考研题型,加强知识点的前后联系,分 清重难点,让复习周期尽量缩短,把握整体的知识体系,熟练掌握定理公式和解题技巧。 第三阶段 查缺补漏,模拟训练 主要目标:套题、模拟训练题阶段。练习答题规范,保持卷面整洁,增加信心,练习掌 握考试时间的分配,增强临场应变的能力,要对自己前两个阶段复习中出现含糊不清,掌握 不牢的地方重点加强。 第四阶段 强化记忆,保持状态 主要目标:查漏补缺,回归教材。强化记忆,调整心态,保持状态,积极应考。 三、教材的选择 《高等数学》同济版:讲解比较细致,例题难度适中,涉及内容广泛,是现在高校中采 用比较广泛的教材,配套的辅导教材也很多。 《线性代数》清华版:讲解详实,细致深入,适合时间充裕的同学(推荐)。

《线性代数》同济版:轻薄短小,简明易懂,适合基础不好的同学。 《概率论与数理统计》浙大版:课后习题中基本的题型都有覆盖。 四、学习方法解读 (1)强调学习而不是复习 对于大部分同学而言, 因为高等数学学习的时间比较早, 而且原来学习所针对的难度并 不是很大,又加上遗忘,现在数学知识恐怕已经所剩无几了,所以,这一遍强调学习,要拿 出重新学习的劲头亲自动手去做,去思考。 (2)复习顺序的选择问题 我们建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。 高等数学是线性代数和概率论与 数理统计的基础,一定要先学习。我们并不主张三门课齐头并进,毕竟三门课有所区别,要 学一门就先学精了再继续推进, 做成“夹生饭”会让你有种骑虎难下的感觉, 到时你反而会 耗费更多的时间去收拾烂摊子。同学们也可根据自己的特殊情况调整复习顺序。 (3)注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握 结合考研辅导书和大纲,先吃透基本概念、基本方法和基本定理,只有对基本概念深入 理解,对基本定理和公式牢牢记住,才能找到解题的突破口和切入点。分析表明,考生失分 的一个重要原因就是对基本概念、基本定理理解不准确,基本解题方法没有掌握。因此,首 轮复习必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学原理、重要的数学结论等数 学基本要素上下足工夫,如果这个基础打不牢,其他一切都是空中楼阁。 (4)加强练习,重视总结、归纳解题思路、方法和技巧 数学考试的所有任务就是解题,而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真 正理解和巩固。试题千变万化,但其知识结构却基本相同,题型也相对固定,一般存在相应 的解题规律。 通过大量的训练可以切实提高数学的解题能力, 做到面对任何试题都能有条不 紊地分析和计算。 (5)不要依赖答案 学习的过程中一定要力求全部理解和掌握知识点, 做题的过程中先不要看答案, 如果题 目确实做不出来,可以先看答案,看明白之后再抛弃答案自己把题目独立地做一遍。不要以 为看明白了就会了,只有自己真正做一遍,印象才能深刻。 (6)强调积极主动地亲自参与,并整理出笔记 注意一定要在学习过程中写出自己的感受,可以在书上以题注的形式或者就是做笔记, 尽量深挖例题内涵,这一点很重要,并且要贯彻前三轮的复习,如果最后一轮复习我们有了 自己整理的笔记,就会很轻松。有同学说学习线性代数最好的办法就是亲自推导,这话很有 道理,事实上如果我们学习什么知识都采取这种态度的话,那肯定都会学得非常好。 五、复习进度表 每天至少应该花 2.5-3.5 个小时左右来复习数学, 这样才能保证在基础阶段把整个数学 的基础知识复习完。其中用 1.5-2 个小时左右的时间理解掌握概念、定义等,用 1-1.5 小时 左右来做习题巩固。 对于数学基础较薄弱的同学建议每天再加一个小时的复习时间用来做习

题并总结。 具体每章复习所用的时间我们在每章题目旁边给出了一个复习时间限定期限, 如果超出 这个时间, 或者少于这个时间最好要和你的主管顾问讲明原因, 由主管顾问根据你学习的情 况来调整复习的时间与内容。 注意:本计划对应习题涵盖在以下教材中: 《高等数学》第五版同济大学应用数学系主编 高等教育出版社 《线性代数》第二版居余马编著清华大学出版社 《概率论与数理统计》第三版 浙江大学编著高等教育出版社 复习计划使用说明: (1) 学习计划里有日期、学习时间,日期是对本章知识内容的限定时间,学习时间是针 对复习知识点在大纲中的要求而建议应该使用的学习时间, 同学们在学习的时候一定要两者 同时兼顾,平时如果学习时间不够,可利用周末的时间做调整。 (2) 计划里明确了每章该看的知识点、该做的习题,后面备有大纲要求,学员要根据大 纲要求合理学习知识点。 (3) 每章复习结束后都必须做单元测试题, 单元测试题是准确把握学员是否按照大纲要 求掌握了本章内容。学员在做复习完每章内容后,跟主管顾问要本章测试题。测试题做完后 一定要把成绩反馈给你的主管顾问, 以便主管顾问和教研组老师根据你的复习情况及时调整 你的学习方法与内容。 (4) 同学们在复习的时候一定要和你周围的同学、 老师多交流学习心得。 只有你总结出 来的方法才是最适合你的方法。 (5) 同学们在复习的过程中肯定要遇到一些疑难问题、 做错的题目, 一定要在第一时间 把他整理到你的笔记本里,方便的时候可以答疑

高等数学 第一章 函数与极限(10 天) 微积分中研究的对象是函数。函数概念的实质是变量之间确定的对应关系。极限是微 积分的理论基础,研究函数实质上是研究各种类型极限。无穷小就是极限为零的变量,极限 方法的重要部分是无穷小分析, 或说无穷小阶的估计与分析。 我们研究的对象是连续函数或 除若干点外是连续的函数。

日期

学习 时间

复习知识点与对应习题

大纲要求

第一 2.5

函数的概念,常见的函数(有界函 1、 理解函数的概念, 掌握函数的表示法,





数、奇函数与偶函数、单调函数、 并会建立简单应用问题中的函数关系。 周期函数)、复合函数、反函数、 2、了解函数的有界性、单调性、周期性 和奇偶性。

—— 3.5

第二 小时 初等函数具体概念和形式. 习题 1 周

-1:4,5,7,8,9,13,15,18 3、理解复合函数及分段函数的概念,了 解反函数及隐函数的概念。 2.5 - 3.5 数列定义,数列极限的性质(唯一 性、有界性、保号性 ) P26(例 1, 4、掌握基本初等函数的性质及其图形, 了解初等函数的概念。

例 2)P27(例 3)习题 1-2:1,3,4,5、了解数列极限和函数极限(包括左极 限与右极限)的概念。 小时 5,6 6、了解极限的性质与极限存在的两个准 函数极限的基本性质(不等式 性 则, 掌握极限的四则运算法则, 掌握利用

两个重要极限求极限的方法。 质、极限的保号性、极限的唯一性、 7、理解无穷小的概念和基本性质。掌握 - 函数极限的函数局部有界性,函数 无穷小的比较方法。 了解无穷大量的概念 3.5 极限与数列极限的关系等)P33(例 及其与无穷小量的关系。 小时 4,例 5)P35(例 7)习题 1-3:1,2, 8、理解函数连续性的概念(含左连续与 4,6,7,8 右连续),会判别函数间断点的类型。 2.5 9、了解连续函数的性质和初等函数的连 2.5 - 3.5 小时 无穷小与无穷大的定义,它们之间 的关系,以及与极限的关系习题 1 -4:1,2,4,5,6,7 续性, 了解闭区间上连续函数的性质 (有 界性、 最大值和最小值定理、 介值定理), 并会应用这些性质。

2.5 - 3.5 小时

极限的运算法则(6 个定理以及一些 推论)P46(例 3,例 4),P47(例 6),习 题 1-5:1,2,3

两个重要极限(要牢记在心,要注 2.5 - 3.5 小时 意极限成立的条件,不要混淆,应 熟悉等价表达式) ,函数极限的存在 问题(夹逼定理、单调有界数列必 有极限),利用函数极限求数列极 限,利用夹逼法则求极限,求递归 数列的极限

P51(例 1)习题 1-6:1,2,4

无穷小阶的概念(同阶无穷小、等 2.5 - 3.5 价无穷小、高阶无穷小、k 阶无穷 小),重要的等价无穷小(尤其重 要,一定要烂熟于心)以及它们的

小时 重要性质和确定方法 P57(例 1)P58(例 5)习题 1-7:1,2,3,4

函数的连续性,间断点的定义与分 2.5 - 3.5 小时 类(第一类间断点与第二类间断 点),判断函数的连续性(连续性 的四则运算法则,复合函数的连续 性,反函数的连续性)和间断点的 类型。例 1-例 5 习题 1-8:2,3, 4,5

连续函数的运算与初等函数的连续 2.5 - 3.5 性(包括和,差,积,商的连续性,反 函数与复合函数的连续性,初等函 数的连续性)

小时 例 4-例 8 习题 1-9:1,2,3,4, 5

理解闭区间上连续函数的性质:有 2.5 -3 小时 界性与最大值最小值定理,零点定 理与介值定理(零点定理对于证明 根的存在是非常重要的一种方法). 例 1-例 2,习题 1-10:1,2,3, 4,5

3.5

总复习题一:1,2,8,9,10,11,

小时 12

2 小 本章测试题- 检验自己是否对本 时 章的复习合格(合格成绩为 80 分以 上),如果合格继续向前复习,如果 不合格总结自己的薄弱点还要针对 性的对本章的内容进行复习或者到 总部答疑。

第二章:导数与微分(7 天) 一元函数的导数是一类特殊的函数极限, 在几何上函数的导数即曲线的切线的斜率, 在力学 上路程函数的导数就是速度, 导数有鲜明的力学意义和几何意义以及物理意义。 函数的可微 性是函数增量和自变量增量之间关系的另一种表达形式。 函数微分是函数增量的线性主要部 分。

日 期

学习 时间

复习知识点与对应习题

大纲要求

导数的定义、几何意义、力学 意义, 单侧与双侧可导的关系, 可导与连续之间的关系(非常 重要,经常会出现在选择题 第 二 周 - 第 三 周 2.5- 3.5 小 时 中),函数的可导性,导函数, 奇偶函数与周期函数的导数的 性质,按照定义求导及其适用 的情形, 利用导数定义求极限. 会求平面曲线的切线方程和法 线方程. 例 3-例 7 习题 2-1:6,7, 9,11,14,15,16,17 1、 理解导数的概念及可导性与连续性之间的关 系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际 与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和 法线方程。 2、掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则 运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函 数的导数 会求反函数与隐函数的导数。 3、了解高阶导数的概念, 会求简单函数的高阶 导数。 4、了解微分的概念, 导数与微分之间的关系以 及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。 2.5- 复合函数求导法、求初等函数 3.5 小 的导数和多层复合函数的导 时 数,由复合函数求导法则导出

的微分法则,(幂、指数函数 求导法,反函数求导法),分 段函数求导法 例-例 17 习题 2-2: 2, 3, 4, 7,8,9,1012)

高阶导数和 N 阶导数的求法 2.5- (归纳法,分解法,用莱布尼 3.5 小 兹法则) 时 例 1-例 7 习题 2-3:2,3, 4,7,8,9

由参数方程确定的函数的求导 2.5- 法,变限积分的求导法,隐函 3.5 小 数的求导法 时 例 1-例 10 习题 2-4:2,4, 7,8,9,11

函数微分的定义,微分运算法 2.5- 则,一元函数微分学的简单应 3.5 小 用 时 例 1-例 6 习题 2-5:1,2, 3,4,5,6,

2.5- 3.5 小 时

总复习题二:1,2,3,5,6, 9,11,13

第二章测试题 检验自己是否 对本章的复习合格(合格成绩 2 小时 为 80 分以上),如果合格继续 向前复习,如果不合格总结自 己的薄弱点还要针对性的对本 章的内容进行复习或者到总部

答疑。

第三章:微分中值定理与导数的应用(8 天) 连续函数是我们研究的基本对象, 函数的许多其他性质都和连续性有关。 在理解有关定理的 基础上可以利用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、拐点,并体现在作图上。微分学的 另一个重要应用是求函数的最大值和最小值。

日 学习 期 时间

复习知识点与对应习题

大纲要求

微分中值定理及其应用(费马 2.5 - 3.5 定理及其几何意义,罗尔定理 及其几何意义,拉格朗日定理 及其几何意义、柯西定理及其

小时 几何意义)例 1,习题 3-1:1 -15 1、 理解罗尔 (Rolle) 定理、 拉格朗日( Lagrange) 2.5 第 三 周 — 第 四 周 2.5 - 3.5 小时 泰勒中值定理,麦克劳林展开 式 例 1-例 3 习题 3-3:1- 7,10 - 3.5 小时 中值定理、了解泰勒定理、柯西(Cauchy)中值定 洛比达法则及其应用 例 1-例 理,掌握这四个定理的简单应用。 10,习题 3-2:1-4 2、会用洛必达法则求极限。 3、掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的 概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及 其应用。 4、会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图 形的拐点和渐近线。 5、会描述简单函数的图形。

2.5 - 3.5 小时

求函数的单调性、 凹凸性区间、 极值点、拐点、渐进线(选择 题及大题常考) 例 1-例 12 习 题 3-4:4,5,8,9,11,12, 14

函数的极值,(一个必要条件, 2.5 - 3.5 两个充分条件),最大最小值问 题.函数性的最值和应用性的 最值问题,与最值问题有关的

小时 综合题 例 1-例 6 习题 3-5:1,4,5,6,7,10,11,14

简单了解利用导数作函数图形 2.5 - 3.5 (一般出选择题及判断图形 题),对其中的渐进线和间断 点要熟练掌握,一元函数的最

小时 值问题(三种情形)。例 1- 例 3 习题 3-6:1-5

2.5 - 3.5 小时 总结本章知识点, 总复习题三: 1-12,19

第三章测试题 检验自己是否 对本章的复习合格(合格成绩 2小 时 为 80 分以上),如果合格继续 向前复习,如果不合格总结自 己的薄弱点,还要针对性对本 章的内容进行复习或者到总部 答疑。

第四章:不定积分(7 天) 积分学是微积分的主要部分之一。 函数积分学包括不定积分和定积分两部分。 在积分的计算 中,分项积分法,分段积分法,换元积分法和分部积分法是最基本的方法。

日期 学习 复习知识点与对应习题 时间

大纲要求

原函数与不定积分的概念与 2.5 - 3.5 小时 基本性质(它们各自的定义, 之间的关系, 求不定积分与求 微分或导数的关系) , 基本的 积分公式,原函数的存在性, 原函数的几何意义和力学意 义例 1-例 16 习题 4-1:1

2.5 - 3.5 小时 不定积分的换元积分法, 第二 类换元法 例 1-例 27

第四 2.5 周 —- 3.5 2(1-20)

1.理解原函数概念,理解不定积分的概念. 不定积分的计算 习题 4-2: 2. 掌握不定积分的基本公式, 掌握不定积分换元积分法 与分部积分法. 3. 会求有理函数、 三角函数有理式及简单无理函数的积 分.

第五 小时 周 2.5 - 3.5 小时 不定积分的计算 习题 4-2: 2(21-40)

2.5 - 3.5 小时 不定积分的分部积分法 例 1 -例 10 习题 4-3:1-20

2.5 - 3.5

不定积分计算,总复习题四: 1-15

小时

2.5 - 3.5 小时 不定积分计算 总复习题四: 16-30

总结本章, 做第四章单元测试 题 检验自己是否对本章的复 2小 时 习合格(合格成绩为 80 分以 上), 如果合格继续向前复习, 如果不合格总结自己的薄弱 点, 还要针对性对本章的内容 进行复习或者到总部答疑。

第五章: 定积分(8 天)

日 期

学习 时间

复习知识点与对应习题

大纲要求

2.5- 3.5 小 时 第 五 周 — 第 六 周 2.5- 2.5- 3.5 小 时

定积分的概念与性质(可积存 在定理)(定积分的 7 个性质) 习题 5-1:2,3,5,6,7, 8 1.理解原函数概念,理解定积分的概念. 2. 掌握定积分的基本公式, 掌握定积分的性质及定积分 微积分的基本公式 积分上限 函数及其导数 牛顿-莱布尼 兹公式 例 1-例 8 习题 5- 2:1-5 中值定理,掌握换元积分法与分部积分法. 3. 会求有理函数、 三角函数有理式及简单无理函数的积 分. 4.理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿-莱 布尼茨公式. 5.了解广义反常积分的概念,会计算广义反常积分.

3.5 小 习题 5-2:6-12 时

2.5- 3.5 小 时

定积分的换元法与分部积分 法 例 1-例 10 习题 5-3:1

2.5- 3.5 小 习题 5-3:2-11 时

2.5- 反常积分 无界函数反常积分 3.5 小 与无穷限反常积分 例 1-例 时 5 习题:5-4:1-3

2.5- 3.5 小 时

反常积分的审敛法 例 1-例 8 习题 5-5:1-3

2.5- 3.5 小 总复习题五:1-11 12,13 时

总结本章, 做第五章单元测试 题 检验自己是否对本章的复 习合格(合格成绩为 80 分以 2 小时 上), 如果合格继续向前复习, 如果不合格总结自己的薄弱 点, 还要针对性的对本章的内 容进行复习或者到总部答疑。

第六章:定积分的应用(5 天)



学习

复习知识点与对应习题

大纲要求



时间

定积分元素法 一元函数积分 2.5- 3.5 小 时 学的几何应用 (求平面曲线的 弧长与曲率, 求平面图形的面 积,求旋转体的体积,求平行 截面为已知的立体体积, 求旋 转面的面积)例 1-例 14

2.5- 3.5 小 时 第 六 周 — 第 七 周 2.5- 2.5- 3.5 小 时

定积分应用的一些计算 习题 6-2:1-15

定积分的几何应用相关计算 习题 6-2:16-30

1. 会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积及 函数的平均值,会利用定积分求解简单的经济应用问题。

3.5 小 总复习题六:1-6 时

总结本章, 做第六章单元测试 题 检验自己是否对本章的复 习合格(合格成绩为 80 分以 2 小时 上), 如果合格继续向前复习, 如果不合格总结自己的薄弱 点, 还要针对性对本章的内容 进行复习或者到总部答疑。

本帖最后由 thin 于 2010-2-6 22:54 编辑

注意:本计划对应习题涵盖在以下教材中: 《高等数学》第五版同济大学应用数学系主编 高等教育出版社 复习计划使用说明:

(1) 学习计划里有学习时间, 章节后面标注的天数是本章知识内容的限定时间, 学习时 间是针对复习知识点在大纲中的要求而建议应该使用的学习时间, 同学们在学习的时候一定 要两者同时兼顾,平时如果学习时间不够,可利用周末的时间做调整。 (2) 计划里明确了每章该看的知识点、该做的习题,后面备有大纲要求,学员要根据大 纲要求合理学习知识点。 (3) 每章复习结束后都必须做单元测试题, 单元测试题是准确把握学员是否按照大纲要 求掌握了本章内容。学员在做复习完每章内容后,跟主管咨询师要本章测试题。测试题做完 后一定要把成绩反馈给你的主管咨询师, 以便主管咨询师和教研组老师根据你的复习情况及 时调整你的学习方法与内容。 (4) 同学们在复习的时候一定要和你周围的同学、 老师多交流学习心得。 只有你总结出 来的方法才是最适合你的方法。 (5) 同学们在复习的过程中肯定要遇到一些疑难问题、 做错的题目, 一定要在第一时间 把他整理到你的笔记本里,方便的时候可以答疑。 高等数学 第八章:多元函数微分法及其应用 ( 7 天)

在一元函数微分学的基础上, 讨论多元函数的微分法及其应用, 主要是二元函数的偏导 数、全微分等概念,计算它们的各种方法及其应用。

学习时 间

复习知识点与对应习题

大纲要求

2.5-

多元函数的基本概念 (二元函数 1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意 的极限、连续性、有界性与最大 义.

3.5 小 值最小值定理、介值定理),例 2.了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界 时 1—8,习题 8—1:2,3,4,5,闭区域上二元连续函数的性质. 6,8 3.了解多元函数偏导数和全微分的概念,会求多 元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分,了解 2.5- 偏导数(偏导数的概念,二阶偏 隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数.

3.5 小 导数的求解 ),例 1—8,习题 4.了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多 时 8—2:1,2,3,4,6,9 元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存 在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗 2.5- 全微分(全微分的定义,可微分 日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值

3.5 小 的必要条件和充分条件) , 例 1,和最小值,并会解决一些简单的应用问题. 时 2,3,习题 8—3:1,2,3,4

2.5-

多元复合函数的求导法则 (多元

3.5 小 复合函数求导, 全微分形式的不 时 变性) , 例 1—6, 习题 8—4: 1—12

2.5-

隐函数的求导公式 (隐函数存在

3.5 小 的 3 个定理),例 1—4,习题 时 8—5:1—9

多元函数的极值及其求法 (多元 2.5- 3.5 小 时 函数极值与最值的概念, 二元函 数极值存在的必要条件和充分 条件,会求二元函数的极值,会 用拉格朗日乘数法求条件极 值) , 例 1-9, 习题 8—8: 1—10

3.5 小 总复习题八:1,2,6,7,9, 时 11,12,17,18

本章测试题——检验自己是否 对本章的复习合格(合格成绩为 2 小时 80 分以上),如果合格继续向前 复习, 如果不合格总结自己的薄 弱点还要针对性的对本章的内 容进行复习或者到总部答疑。

第九章:重积分(7 天)

在一元函数积分学中, 定积分是某种确定形式的和的极限, 这种和的极限的概念推广到 定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形,便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念, 本章主要介绍重积分(包括二重积分)的概念、计算方法以及它们的一些应用。

学习 时间

复习知识点与对应习题

大纲要求

2.5- 二重积分的概念与性质(二重 3.5 小 积分的定义及 6 个性质),习 时 题 9-1:1,4,5

2.5- 3.5 小 时

二重积分的计算法(会利用直 角坐标计算二重积分),例 1 -4,习题 9-2:1,2, 4,6, 7,8

2.5- 3.5 小 时

二重积分的计算法(会利用极 坐标计算二重积分) , 例 4—6, 习题 9—2:11、12,13、14, 15,16 1. 了解二重积分的概念与基本性质.

2.5- 3.5 小 时

二重积分的计算法(会利用直 角坐标、极坐标计算二重积

2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).

3.了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算 分),习题 9—2:15、16、17、 18

2.5- 3.5 小 总复习题十: 2,3,4,5 时

本章测试题——检验自己是否 对本章的复习合格(合格成绩 为 80 分以上),如果合格继续 2 小时 向前复习,如果不合格总结自 己的薄弱点还要针对性的对本 章的内容进行复习或者到总部 答疑。

第十一章:无穷级数(7 天) 积分学是微积分的主要部分之一。 函数积分学包括不定积分和定积分两部分。 在积分的 计算中,分项积分法,分段积分法,换元积分法和分部积分法是最基本的方法。

第十二章 常微分方程 (9 天) 常微分方程的研究对象就是常微分方程解的性质与求法, 本章主要有两个问题, 一是根 据实际问题和所给条件建立含有自变量、 未知函数及未知函数的导数的方程及相应的初始条 件;二是求解方程,包括方程的通解和满足初始条件的特解。 学习 时间 2.5- 3.5 小 时

复习知识点与对应习题 微分方程的基本概念(微分方 程及其阶、解、通解、初始条 件和特解),例 1、2、3、4, 习题 12-1:1,2,3,4,5,6 可分离变量的微分方程(可分 离变量的微分方程的概念及其 解法 ),例 1、2、3、4,习题 12-2:1,3,4,5,6,7

大纲要求

2.5- 3.5 小 时

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概 念. 2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程及一阶

2.5- 齐次方程(一阶齐次微分方程 线性微分方程的解法.3.会解二阶常系数齐次线性微分方 3.5 小 的形式及其解法)例 1、2、4,程.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理,会解 时 习题 12-3:1,2,3,4 自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它

2.5- 一阶线性微分方程(常数变易 们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.5.了解差 3.5 小 法,伯努利方程),例 1-4, 分与差分方程及其通解与特解等概念. 6.掌握一阶常系 时 习题 12—4:1,2,7, 9 数线性差分方程的求解方法. 7.会用微分方程和差分方 程求解简单的经济应用问题.

2.5- 高阶线性微分方程(微分方程 3.5 小 的特解、通解),例 1—4,习 时 2.5- 3.5 小 时 题 12—7:1,4,5,6,7 常系数齐次线性微分方程(特 征方程,微分方程通解中对应 项),例 1,2,3,4,6,7 习题 12-8:1,2

常系数非齐次线性微分方程 2.5- 3.5 小 时 (会解自由项为多项式、指数 函数、正弦函数、余弦函数以 及它们的和与积的二阶常系数 非齐次线性微分方程),例 1 -5, 习题 12-9:1,2 2.5- 3.5 小 时 《微积分》9.5 节:差分方程 的一般概念, 例 1—4; 9.6 节: 一阶和二阶常系数线性差分方 程,例 1—9

3.5 小 总复习题十二:1,2,3,4,5, 时 10 本章测试题——检验自己是否 对本章的复习合格(合格成绩 为 80 分以上),如果合格继续 向前复习,如果不合格总结自 2 小时 己的薄弱点还要针对性的对本 共 59 天 章的内容进行复习或者到总部 答疑。本章因为知识点及对知 识点的要求较少,就用一套单 元测试题进行测试。

第二部分 概率论与数理统计 《概率论与数理统计》第三版 江大学 盛 骤 谢式千 潘承毅 社 复习计划使用说明: (1) 学习时间是针对复习知识点在大纲中的要求而建议应该使用的学习时间, 平 时如果学习时间不够,可利用周末的时间做调整。 (2) 计划里明确了每章该看的知识点、该做的习题,后面备有大纲要求,学员要 根据大纲要求合理学习知识点。 浙 高等教育出版



(3) 每章复习结束后都必须做单元测试题, 单元测试题是准确把握学员是否按照 大纲要求掌握了本章内容。学员在做复习完每章内容后,跟主管顾问要本章测试题。测试题 做完后一定要把成绩反馈给你的主管顾问, 以便主管顾问和教研组老师根据你的复习情况及 时调整你的学习方法与内容。 (4) 同学们在复习的时候一定要和你周围的同学、 老师多交流学习心得。 只有你 总结出来的方法才是最适合你的方法。 (5) 同学们在复习的过程中肯定要遇到一些疑难问题、 做错的题目, 一定要在第 一时间把他整理到你的笔记本里,方便的时候可以答疑。 第一章 概率论的基本概念 我们应该了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 并要熟练掌握随机事件的关系和 运算法则,理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质。加法公式、乘法公式、减法 公式、全概率公式、贝叶斯公式是概率的五个基本公式,应用它们再结合时间运算和概率的 基本性质,可以解决不少有关随机事件概率的计算问题。 学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求

2 小时

2-3 小时

2-3 小时

3 小时

2 小时

样本空间与随机事件的概念,事件的关系与运算, 1、 了解样本空间(基本事件 文氏图,事件运算法则和常用结论,概率的概念, 空间)的概念,理解随机事 概率的基本性质(6 个性质),例(4 页)1-3,习题(32 件的概念, 掌握事件的关系 页),1,2 及运算。 古典概型,几何型概率,概率的加法定理,例(12 2、理解概率、条件概率的 概念,掌握概率的基本性 页)1-8,习题(32 页)4,5,8,9,12,13 会计算古典型概率和几 条件概率,概率的乘法定理,全概率公式,贝叶斯 质, 掌握概率的加法 (Bayes)公式,事件的独立性,例(20 页)2-6,例(28 何型概率, 公式、 减法公式、 乘法公式、 页)2-4,习题(34 页)22,25,28,29 总结回顾,本章应注重对基本概念和基本公式的复 全概率公式以及贝叶斯 习,以及应用概率的基本性质和基本公式计算独立 (Bayes)公式。 3、理解事件的独立性的概 性事件的概率。习题(33 页)6,14,16,21,26,30, 念, 掌握用事件独立性进行 31 概率计算; 理解独立重复试 本章测试题——检验自己对本章复习是否合格(合 验的概念, 掌握计算有关事 格成绩为 80 分以上),如果合格,继续进行下一章 件概率的方法。 复习,如果不合格,总结自己的薄弱点要有针对性 的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。

第二章 随机变量及其分布 随机变量是概率论和数理统计所要研究的基本对象, 它是定 义在样本空间上具有某种可测性的实值函数。 离散型和连续型随机变量是最重要的两类随机 变量。 学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求

2.5-3.5 小 随机变量,离散型随机变量及其分布律, 1、 理解随机变量的概念, 理解分布 时 0-1 分布,伯努利试验、二项分布,泊松分

2-3 小时

布,例(40 页)1-4,习题(69 页)2,4,5, 函数 9,10,13 随机变量的分布函数,连续型随机变量及 的概念及性质;会计算与随机变量 其概率密度,均匀分布,指数分布,例(48 相联系的事件的概率。 2、 理解离散型随机变量及其概率分 页)1,2,例(52 页)1,2,习题(71 页)15, 布的概念, 掌握 0-1 分布、 二项分 18,21,22 正态分布,随机变量的函数的分布,例(52 布 、 几何分布、 超几何分布、 页)3,例(62 页)1-5,习题(73 页)23,24, 28,29,31 泊松(Poisson)分布 及其应 总结回顾,本章注重对以下几个方面的复 习(1)利用概率密度函数求概率;(2)常见 用。 的随机变量的分布及计算;(3)与其他各章 3、掌握泊松定理的结论和应用条 件,会用泊松分布近似表示二项分 内容结合的综合题及应用题。习题(69 布。 页)3,6,11,14,17,19,30,32 4、 理解连续型随机变量及其概率密 度的概念,掌握均匀分布 、

2-3 小时

3 小时

2 小时

正态分布 、指数分布及其 本章测试题——检验自己是否对本章的复 习合格(合格成绩为 80 分以上), 如果合格, 应用,其中参数为 的指数 继续进行下一章复习,如果不合格,总结 自己的薄弱点要有针对性的对本章的内容 分布 的概率密度为 进行复习或者到总部答疑。

5、会求随机变量函数的分布。 第三章 多维随机变量及其分布 对于二维随机变量, 不仅应该理解二维随机变量联合分 布函数的概念与性质,还要掌握二维离散型维随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分 布和二维连续型随机变量的联合概率密度、 边缘密度和条件密度, 会根据多个相互独立随机 变量的联合分布求其函数的分布。 学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求

二维随机变量的分布函数,二维离散型随机变 1、 理解多维随机变量的概念和 量的概率分布和边缘分布,二维连续型随机变 基本性质。 2-3 小时 量的概率密度和边缘概率密度,例(77 页)1-2, 2、 理解二维离散型随机变量的 例(81 页)1-2,习题(104 页)2,3,5,7 概率分布和二维连续型随机变 二维离散型随机变量的条件分布,二维连续型 量的概率密度,掌握二维随机 2.5-3.5 小 随机变量的条件密度,相互独立的随机变量, 变量的边缘分布和条件分 布。 时 例(84 页)1-4,例(92 页),习题(105 页)8,9, 3、 理解随机变量的独立性和不 11,12,13 2-3 小时 两个随机变量的函数的分布, 的分 相关性的概念,掌握随机变量

相互独立的条件,理解随机变 量的不相关性与独立性的关 例(95 页)1-4,习题(106 页)17,19,24,26,系。 27 4、 掌握二维均匀分布和二维正 布, 及 的分布, 总结回顾, 本章是的复习应从以下几个方面(1) ,理 联合密度与边缘密度,条件密度之间的关系与 态分布 转化;(2)分布函数与概率密度的关系;(3)利 解其中参数的概率意义。 会根据两个随机变量的联合 用联合密度求概率;(4)独立性的判断与应用;5、 (5)随机变量的函数的分布。习题(104 页)6, 分布求其函数的分布,会根据 多个相互独立随机变量的联合 10,14,16,20,23,25,28 本章测试题——检验自己是否对本章的复习合 分布求其函数的分布。 格(合格成绩为 80 分以上),如果合格,继续进 行下一章复习,如果不合格,总结自己的薄弱 点要有针对性的对本章的内容进行复习或者到 总部答疑。

3 小时

2 小时

第四章 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征是描述随机变量分布特征的数字, 它 们能够集中的刻画出随机变量取值规律的特点。 在随机变量的分布未知的情况下, 会利用切 比雪夫不等式估计事件的概率。 学习时间 2.5-3.5 小时 复习知识点与对应习题 大纲要求

数学期望的概念及性质,随机变量函数的数学期望, 1、理解随机变量数字特 例(110 页)1-12,习题(139 页)3,5,8,9 征(数学期望、方差、标 方差、标准差的概念及性质,切比雪夫(Chebyshev) 准差、矩、协方差、相关 系数)的概念,会运用数 2.5-3.5 小时 不等式,常见分布的数学期望和方差,例(122 字特征的基本性质, 并掌 页)1-8,习题(140 页)16,18,20,22,23 随机变量的协方差、相关系数的定义及性质,矩及 握常用分布的数字特征。 2.5-3.5 小时 协方差矩阵的定义及性质, 例(132 页)1-2, 习题(141 2、会求随机变量函数的 数学期望。 页)25,27,29,30 了解切比雪夫不等式。 总结回顾,主要从以下几个方面复习本章内容(1)利 3、 用随机变量的概率分布求数学期望和方差;(2)利用 常见分布的数字特征解决各种问题;(3)随机变量函 数的数学期望;(4)数学期望和方差应用于数理统计 问题;(5)协方差,相关系数等数字特征的计算;(6) 相关系数为零(即不相关)与独立性的区别。习题 (139 页)6,7,13,19,21,24,28,31,33 本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格 (合格成绩为 80 分以上),如果合格,继续进行下一 章复习,如果不合格,总结自己的薄弱点要有针对 性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。

3 小时

2 小时

第五章 大数定律及中心极限定理

大数定律和中心极限定理都是随机变量序列的极限定理, 它们是概率论中比较深入的理 论结果。 学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求

三个大数定律(切比雪夫(Chebyshev)大数定律, 伯努 1、了解切比雪夫大数定 利(Bernoulli)大数定律,辛钦(Khinchine)大数定 律、伯努利大数定律和 律),三个中心极限定理(独立同分布的中心极限定 辛钦大数定律(独立同 2.5-3.5 小时 理、李雅普诺夫(Liapunov)定理、棣莫佛-拉普拉斯 分布随机变量序列的大 (De Moivre-Laplace)定理),例(151 页)1-3,习题 数定律)。 (154 页)1,4,7,8 2、了解棣莫弗-拉普拉 总结回顾,本章复习的重点应放在以下几个方面(1) 斯定理(二项分布以正 利用切比雪夫不等式估计概率;(2)考查随机变量序 态分布为极限分布)和 3 小时 列是否满足大数定律和中心极限定理的条件或结论;列维-林德伯格定理(独 (3)利用中心极限定理解决应用中的近似计算问题。 立同分布随机变量序列 的中心极限定理),并会 习题(154 页)2,3,5,6,9 本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格(合 用相关定理近似计算有 格成绩为 80 分以上),如果合格,继续进行下一章复 关随机事件的概率。 2 小时 习,如果不合格,总结自己的薄弱点要有针对性的对 本章的内容进行复习或者到总部答疑。 第六章 样本及抽样分布 学习时间 复习知识点与对应习题 大纲要求

总体、个体、简单随机样本和统计量的定义, 1、了解总体、简单随机样本、 样本均值、样本方差和样本矩的定义,几个 统计量、样本均值、样本方差及 2.5-3.5 小 样本矩的概念。 其中样本方差定 常用统计量的分布 ( 分布, 分布, 分布, 时 正态总体的样本均值与样本方差的分布), 分位数的概念,习题(174 页)1,4,9 3 小时 义为:

总结回顾,应重点复习数理统计的基本概念 2、了解产生 变量、 变量和 以及利用常见的分布及其相关理论求概率或 数字特征。习题(175 页)2,3,5,6,7,8 变量的典型模式; 了解标准正 态分布、 分布、 分布和 分

2 小时

本章测试题——检验自己是否对本章的复习 布的上侧 分位数, 会查相应数 合格(合格成绩为 80 分以上),如果合格,继 值表。 续进行下一章复习,如果不合格,总结自己 3、掌握正态总体的抽样分布: 的薄弱点要有针对性的对本章的内容进行复 样本均值、样本方差、样本矩的 习或者到总部答疑。 抽样分布。 4、了解经验分布函数的概念和 性质。

第七章 参数估计

学习时间

复习知识点与对应习题

大纲要求

点估计的概念,用矩估计法和最大似然估计法求点 1、了解参数的点估计、 2.5-3.5 小时 估计,例(176 页)1-6,例(187 页),习题(207 页)1, 估计量与估计值的概念。 5 2、掌握矩估计法(一阶、 ( )分布参数的区间估计,参数 的单侧置信上 二阶矩)和最大似然估计 2-3 小时 限和单侧置信下限,单个及两个正态总体单侧置信 法。 上限和单侧置信下限。 3 小时 总结回顾,本章的复习重点应放在求矩估计量和最 大似然估计量;习题(208 页)3,7 本章测试题——检验自己是否对本章的复习合格 (合格成绩为 80 分以上),如果合格,继续进行下一 章复习,如果不合格,总结自己的薄弱点要有针对 性的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。

2 小时

第三部分 线性代数

1

线性代数部分

1.1

线代这门课的特点

线性代数与高数和概率相比,特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分涉及到了各种类 型的性质和关系, 记忆量大而且容易混淆的地方较多; 但线代更重要的特点在于知识点间的 联系性很强。 这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识, 更重 要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。 历年考研真题中线代部分的题目都很灵活,在一道大题甚至小题中就可以考察到多个 知识点,而且过渡自然、结构巧妙;有相当一部分题目可以找出多种解法。出现这种情况当 然与出题专家水平高有关,但内在原因还是在于线性代数这门课“知识点间联系性强”的特 点。 所以我们在复习线代的策略中,有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通” 。 “融会” 可以理解为设法找到不同知识点之间的内在相通之处; “贯通”可以理解为掌握前后知识点 之间的顺承关系。 这样做的目的就在于——当看到题目的条件和结论、 推测出其中涉及到的 知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识点队列, 从而大大提高解题效率、 增加得分胜 算。 这样的复习策略虽然也能够用于高数和概率,但在线代复习中的作用体现的最为明 显。以第三章《矢量》 、第四章《线性方程组》为例, “线性相关” 、 “线性表示”的概念与线 性方程组的某些性质定理之间存在着相互推导和相互印证的关系; 出题专家在编制题目时常 常利用这些联系将两部分的内容结合起来出题, 比如在历年真题中出现频率很高的性质 “齐 次方程组是否有零解对应于 A 的列矢量组是否线性相关;非齐次方程组 Ax=b 是否有解对应 于矢量 b 是否可由 A 的列矢量线性表示” 。 再如一个貌似考察矢量组线性无关的题目,做起来以后才发现实际考的是矩阵秩或行 列式的内容,题眼就在于性质“方阵 A 可逆?|A|=0?A 的列矢量组线性无关?r(A)=n” ,依 靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点间的联系。 以上简单分析了一下线代这门课本身的特点, 在下面的小结中列出了对每章中一些具体

知识点内在联系的分析和实战过程中发现的一些常用的和好用的性质, 作为对具体知识点的 讨论。 正是因为具有这样的特点,线代与高数、概率相比,从难易程度上讲正是一门“学得 不好就显得特别的难,一旦学好以后就会变得特别容易”的科目,所以实际上把时间花在线 代复习上很划算; 即使你现在认为自己的线代水平还不好, 那么也不应该有放弃线代的打算, 因为,在一门“已经学得差不多”的课上继续投入时间的效果肯定要比投入等量时间在一门 “学得不好但有更大提分空间”的课上的效果好,也就是说,试图把一门满分是 100 分、现 在水平是 80 分的课提高到 85 分,一般要比把一门满分 100 现在只能拿 40 分的课提高 10 分、20 分还要难得多。 1.2 线代第一章《行列式》 、第二章《矩阵》

第一章《行列式》 、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节,有必要熟练掌握。第 一章行列式的核心内容是求行列式, 包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算, 其中具体 行列式的计算又有低阶和 n 阶两种类型;主要方法是应用行列式按行\列展开定理和化为上 下三角行列式求解, 还可能用到的方法包括: 行列式的定义 (n 阶行列式的值为取自不同行、 不同列的 n 个元素的乘积的代数和) 、性质 |

A |? ?1 ? 2 ? ? ? ?n (其中 ?i 为矩阵 A 的
A T 、 A ? 、 A ?1 等的相关性质,在

特征值) 、行列式的性质(如“数乘行列式等于用此数乘一行列式中的某一行或某一列” ) 。 对于抽象行列式的求值,考点不在求行列式,而在于

下面对第二章的讨论中会有小结。 第二章矩阵中的知识点很细碎,但好在每个小知识点包括的内容都不多,没有什么深 度。由历年考研真题可见,矩阵部分出题很灵活,频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规 律、 A , A ,
T ?

A ?1 的性质、矩阵可逆的判定条件、矩阵秩的性质、某些结构特殊的矩

阵和矩阵初等变换技巧等。 所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致,一些做题时用到的性质和方 法结合具体的题目就题论题才有最佳的效果, 故在后面的评题中会有更充分的讨论; 下面的 表格分类列出了逆矩阵 行列式性质 质 ( 阵

A ?1 、伴随矩阵 A? 、矩阵转置 A T 的性质以供区别记忆:
特征值性

? 为矩
的特

运算性质

秩的性质

A

征值) 转 置 矩 阵

AT

| AT |? | A |

( AT )T ? A
( kA) T ? kAT

r ( AT ) ? r ( A)

r ( AT ) ? r ( AT A)
r ( AT A) ? r ( A)

( AB)T ? BT AT

( A ? B)T ? BT ? AT
逆 矩 阵

A ?1
伴随矩阵

1 | A |? | A|
?1

有特征值

1

?
有特征值

A?

| A? |?| A | n?1

| A|

A? 、 A T 、 A ?1 三者之
间有一个即好记又好用的 性质

?

( AT ) ?1 ? ( A?1 )T ( A? ) ?1 ? ( A?1 ) ?
( AT ) ? ? ( A? )T
数 乘 矩 阵

? n. r ( A) ? n ? r ( A ) ? ?1. r ( A) ? n ? 1 ?0. r ( A) ? n ? 1 ?
?

kA
之积

| kA |? k n A

kA

有特

r ( A ? B) ? r ( A) ? r ( B)
r ( AB) ? min{ r ( A), r ( B)}

、矩阵

AB

| AB |?| A || B |

征值 k? ,

及矩阵之和

aA ? bE
有特征值

AB ? 0







A? B

a? ? b

r ( A) ? r ( B) ? n


A

是可逆矩阵则有

r ( AB) ? r ( B) ;同样,若

B









r ( AB) ? r ( A)
1.3

1.4

线代第三章《矢量》 、第四章《线性方程组》

线代第三章《矢量》 、第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核心内容,相比 之下, 前两章行列式和矩阵可视作是为了讨论矢量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础 性章节,后两章特征值、特征矢量、二次型的内容则相对独立, 可以看作是对第三、四章 核心内容的扩展。 矢量与线性方程组两章的内容联系很密切,很多知识点相互之间都有或明或暗的相关 性。 复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系, 因为这样做首先能

够保证做到真正意义上的理解,同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组

? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? ?a1n xn ? b1 ? ? a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? ?a2 n xn ? b2 的系数矩阵是 m 行 n 列的,其有两种形式,一种是 ?a x ? a x ? ? ? ?a x ? b m2 2 mn n n ? m1 1
矩 阵 形 式

Ax ? b







A











? a11 a12 ? ? ? a1n ? ?a ? ? 21 a 22 a 2 n ? ? ? ??? ? ? ?a m1 a m 2 ? ? ? a mn ?

,

? x1 ? ?x ? x ? ? 2? ?? ? ?? ? ? ? xn ?

,

? b1 ? ?b ? b ? ? 2? ?? ? ?? ? ? ?b n ?

; 另 一 种 是 矢 量 形 式

? a1i ? ?a ? ? 2i ? x1a1 ? x2a2 ? ? ? ? ? xnan ? b ,其中 a i ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ni ?

i ? 1,2 ? ? ? n 。矢量就这样

被引入了,可能早期的数学家研究矢量就是为了更好的研究解方程组的问题。 先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组

x1a1 ? x2 a2 ? ? ? ? ? xn an ? 0

可以直接看出是一定有解的,因为当

x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn ? 0 式等式一定成立,印证了第三章矢量部分的一条性质“0 矢
量可由任何矢量线性表示” , 即当 定存在一组数 k1 , k 2

? ? k1a1 ? k 2 a2 ? ? ? ? ? k n an 中的 ? ? 0 时一

? ? ? k n 使等式成立,至少在 k i 全为 0 时可以满足。 ? x2 a2 ? ? ? ? ? xn an ? 0 中的 x i 只能全

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况:1.有唯一零解;2.有非零解。当齐次 线性方程组有唯一零解时, 是指等式 x1a1

为 0 才能使等式成立, 而第三章矢量部分中判断矢量组 a1 , a2 也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为:设 a1 , a2 在一组不为零的数 k1 , k 2 则称矢量组 a1 , a2

? ? ? an 是否线性相关\无关

? ? ? an 为一组矢量,如果存

? ? ? k n 使得等式 k1a1 ? k 2 a2 ? ? ? ? ? k n an ? 0 成立,

? ? ? an 线性相关; 如果等式当且仅当 k1 ? k 2 ? ? ? ? ? k n ? 0 时

成立,则称矢量组 a1 , a2 次线性方程组

? ? ? an 线性无关。故矢量与线性方程组在此又产生了联系:齐

Ax ? 0 是否有非零解对应于系数矩阵 A 的列矢量组是否线性相关。 (这些

联系肯定不是简单的巧合,很有可能正是数学史上前后相承的发展,说不定线性相关\无关 的概念正是数学家在研究线性方程组问题的过程中发现的。 其实如果按照数学发展史的进程 来编制数学教科书的话, 虽然逻辑性和系统性会不如现在的分章节教材, 但肯定会大大方便 学习者的理解和领悟, 因为这更接近于人思维自然进展的节奏, 非常有利于学习者认识各种 概念定理的来龙去脉,而“不明白自己学的到底是什么”正是很多同学对数学感到困惑的根 源。即使不能做到编制教材,也可以在教材中做一些介绍) 。 假如线性相关\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的,那同样可 以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。 秩的定义是 “极大线性无关组中 的矢量个数” ,矢量组 a1 , a2 性 无 关 组 中 有

? ? ? an 组成的矩阵 A 有 r ( A) ? n 说明矢量组的极大线

n 个 矢 量 , 即

a1 , a2 ? ? ? an

线 性 无 关 , 也 即 等 式

k1a1 ? k 2 a2 ? ? ? ? ? k n an ? 0 只有 0 解。所以,经过“秩—〉线性相关\无关—〉
线性方程组解的判定”的逻辑链条,由

r ( A) ? n

就可以判定齐次方程组

x1a1 ? x2 a2 ? ? ? ? ? xn an ? 0 只有 0 解。当 r ( A) ? n 时,按照齐次线性方程
组解的判定法则,此时有非零解,且有 n-r 个线性无关的解矢量。这又与另一条性质相和: 如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。 若方程组

Ax ? 0 的系数矩

阵是 m 行 n 列的, 则方程个数小于未知量个数时有 m<n; 因为矩阵的秩等于行秩也等于列秩, 所以必有 r ( A)

? m ? n ,根据齐次方程组解的判定定理有非零解。

对于非齐次方程组来说,其解的判定定理与“线性表示”的概念前后联系:非齐次方 程组

Ax ? b 是否有解对应于矢量 b 是否可由 A 的列矢量线性表示。线性表示的定义

为 : 对 于 矢 量 组

a1 , a2 ? ? ? an

若 存 在 一 组 数

k1 , k 2 ? ? ? k n

使 等 式

k1a1 ? k 2 a2 ? ? ? ? ? k n an ? b 成立, 则称矢量 b 可由矢量组 a1 , a2 ? ? ? an 线性
表示。 而使上述等式成立的 k i 就是非齐次方程组 次线性方程组

Ax ? b 的解,故齐次方程组有性质 “齐

Ax ? 0 是否由非零解对应于系数矩阵 A 的列矢量组是否线性向关” , 非齐 Ax ? b 是否有解对应于矢量 b 是否可由 A Ax ? b 与对应齐次线性方程组 Ax ? 0 满

次方程组也由对应性质 “非齐次线性方程组 的列矢量线性表示” 。当非齐次线性方程组

足 r ( A)

? r ( A) ? n 时,根据线性方程组解的判定法则,齐次方程组有零解,非齐次
? ? ? an 线性无关,而

方程组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理: “若 a1 , a2

a1 , a2 ? ? ? an , b 线性相关,则矢量 b 可由矢量组 a1 , a2 ? ? ? an 线性表示,且表示方
法唯一” 。 以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间的内在联系, 这样做不仅仅是为了透彻理解知识点, 更是为了有效应对考试题。 线代部分的学习并不容易 “保持平庸” ,一般不是学的很好、做起题来左右逢源、挥洒自如;就是收效欠佳、总感觉 摸不准题目的脉络; 其差距就在于对线性代数这门课各章节知识的联系是不是真正把握领悟 了。 线代部分的题目难就难在考点的跨度大,出题老师可以借助各知识点之间天然的内在 联系来编制出非常灵活的题目, 而我们如果仅仅掌握零散知识点, 那怕对这些孤立的点掌握 的再透彻,在作题时也会被题目给弄的晕头转向。 我记得当时上线代课时也常常是听的一头雾水、莫名其妙,感觉这门课很难;但在考 研备考时经过这样 “抓本质联系” 的复习后却感觉线代部分反而是考研数学三科中最容易的。 每们科目都有其自身的特点, 出题老师和我们考生都可以加以利用——出题专家们利用线性 代数“知识点间联系复杂”的特点可以编制出灵活的试题,我们则可以根据各知识点之间的 联系来进行归纳、对比和总结,从而深化对知识点的掌握程度。 以上所讨论的各种联系可以归纳为下面几条非常重要的定义与性质,其涵盖了大量的 题眼,在实际做题时非常好用。其含金量之高不仅在线代中是独一无二的,在高数和概率两 门课的知识点中也很少见,希望你能重视: 三个双重定义: 1. 秩的定义 a.矩阵秩的定义:矩阵中非零子式的最高阶数 b.矢量组秩定义:矢量组的极大线性无关组中的矢量个数 2.线性相关\无关的定义: a. 对于一组矢量 a1 , a2

? ? ? an ,若存在不全为零的数 k1 , k 2 ? ? ? k n 使得

k1a1 ? k 2 a2 ? ? ? ? ? k n an ? 0 成立,则相量组线性相关,否则矢
量组线性无关,即上述等式当且仅当 k i 全为 0 时才成立。 b. 矢量组 a1 , a2

? ? ? an 线性相关 ?矢量组中至少存在一个矢量可由其余

n-1 个矢量线性表出; 线性无关?矢量组中没有一个矢量可由其余的矢量线 性表出。 2. 线性方程组的两种形式: a. 矩阵形式:

Ax ? b

b. 矢量形式: x1a1 两条性质:

? x2a2 ? ? ? ? ? xnan ? b

1. 对 于 方 阵

An?n
?

有 : 方 阵

A A

可 逆 ? 存 在 方 阵

B

使 得

AB ? BA ? E
? r ( A) 解。 对于一般矩阵 仅有零解,

| A |? 0

?

的 行 \ 列 矢 量 组 均 线 性 无 关

? n ? Ax ? b 可由克莱姆法则判断有唯一解,而 Ax ? 0 仅有零

Am?n 则有: r ( A) ? n ? A 的列矢量组线性无关? Ax ? 0
Ax ? 0 是否有非零解对应于系数矩阵 A 的列矢量组是否线 Ax ? b 是否有解对应于 b 是否可以由 A 的列

Ax ? b 有唯一解。

3. 齐次线性方程组

性相关,而非齐次线性方程组

矢量组线性表出。 以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的 桥梁: 行列式 线性相关 线性方程组 性质 1 中的“r(A)=n?A 的列矢量组线性无关” 性质 2 性质 1 中的 “|A|≠0?A 秩 的列矢量组线性无关” 以上这些是大量扩展性定理性质的逻辑基础,也是出题人考虑跨章节出题和考察大跨度 知识点时的必经之路——“兵家必争之地” ,怎么重视都不为过。 另外,线性代数部分在考试时会经常直接考一些“虽不要求掌握、但却可以用要求掌握 的一些定理推论推导出来”的性质和结论,所以有必要扩大一些知识面,说不定在考试时就 会有意外收获: 1. 一个线性无关的矢量组不可能由一个所含矢量个数比它少的矢量组线性表示。如 果 矢 量 组

a1 , a2 ? ? ? am

可 由 矢 量 组

?1 , ? 2 ? ? ? ? n

线 性 表 示 , 则 有

r (a1 , a2 ? ? ? am ) ? r ( ?1 , ? 2 ? ? ? ? n ) 。
等价的矢量组具有相同的秩,但不一定有相同个数的矢量; 任何一个矢量组都与它的极大线性无关组等价。

2.

?1 ? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ?1 ? ?0 ? 常见的线性无关组:齐次方程组的一个基础解系; ? ? 、 ? ? 、 ? ? 这样的单 ? ?0 ? ? ? ?0 ? ? ? ?1 ? ?

位矢量组;不同特征值对应的特征矢量。

1.5

m, n} ; 关 于 秩 的 一 些 结 论 : r ( Am?n ) ? min{

r ( A? ) ? 1 ? r ( A) ? n ? 1 ; r ( AT ) ? r ( A) ? r ( AT A) ;
r ( AB) ? min{ r ( A), r ( B)} ; r ( A?B) ? r ( A) ? r ( B) ; 若 有

Am?n 、 Bn?s 满足 AB ? 0 ,则 r ( A) ? r ( B) ? n ;若 A 是可逆
矩阵则有 r ( AB) ? r ( B) ;同样若 B 可逆则有 r ( AB) ? r ( A) 。 非齐次线性方程组 Ax ? b 有唯一解则对应齐次方程组

Ax ? 0 仅有零解, 若 Ax ? b 有无穷多解则 Ax ? 0 有非零
解;若 Ax ? b 有两个不同的解则 Ax ? 0 有非零解;若 A 是 m ? n 矩阵而 r ( A) ? m 则 Ax ? b 一定有解,而且当

m? n 时是唯一解,当 m? n 时是无穷多解,而若
r ( A) ? n 则 Ax ? b 没有解或有唯一解。
1.6 线代第五章《特征值和特征矢量》

相对于前两章来说,本章不是线性代数这门课的理论重点,但却是一个考试重点,历 年考研真题都有相关题目,而且最有可能是综合性的大题。 特征值和特征矢量之所以会得到如此青睐,大概是因为解决相关题目要用到线代中的 大量内容——即有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关, “牵一发而动全身” ;着重考察 这样的知识点,在保证了考察面广的同时又有较大的出题灵活性。 从我们的角度来看, 《特征值特征矢量》这一章的内容即少且条理清晰,虽然涉及其 它很多知识,但需要探究的深层次联系很少,故学好这个“必考点”实际上要比学好高数中 的那些必考点如曲线、 曲面积分要容易的多, 这一点也是前面说复习线代这门课很划算的原 因之一。本章知识要点如下: 1. 特征值和特征矢量的定义及计算方法。就是记牢一系列公式如

Ax ? ?x

( x ? 0) 、

?x ? Ax ? 0



(?E ? A) x ? 0



| ?E ? A |? 0 。在历年真题中常用到下列性质:若 n 阶矩阵 A 有 n 个
特征值 1 征值

? ? 2 ? ? ? ?n

,则有 |

A |? ?1?2 ? ? ? ?n ;若矩阵 A 有特

? ,则 kA 、 A 2 、 aA ? bE 、 f ( A) 、 A ?1 、 A ? 分别有特

2 征值 k? 、 ? 、 a? ? b 、 f (? ) 、

1

| A|


?

?

,且对应特征矢量等

于 则 2.

?

所对应的特征矢量,而若

?1 、 ?2 分别为矩阵 A 、 B 的特征值,

?1 ??2 不一定为 A?B 的特征值。
B ? P ?1 AP ,需要区分矩阵的相似、等
A 与矩阵 B 等价( A ? B )的定义式是 PAQ ? B , A 可通过初等变换化为矩阵 B ,并有
、 Q 互逆时就变成了矩阵相似

相似矩阵及其性质。定义式为 价与合同:矩阵

其中 P 、 Q 为可逆矩阵,此时矩阵

r ( A) ? r ( B) ;当 PAQ ? B 中的 P


A ? B )的定义式,即有 B ? P ?1 AP ,此时满足 r ( A) ? r ( B) 、

| A |?| B | 、 | ?E ? A |?| ?E ? B | ,并且 A 、 B 有相同的特征
值。矩阵合同的定义是 P
T

AP ? B ,其中 P 为可逆矩阵。
A 与 B 合同或相似则

由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系:若

A 与 B 必等价,反之不成立;合同与等价之间没有必然联系。
3. 矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两个充分条件,充要条件 1 是

n 阶矩阵 A 有 n 个线性无关的特征矢量;充要条件 2 是 A 的任意 k 重
A 有 n 个互不相同

特征根对应有 k 个线性无关的特征矢量; 充分条件 1 是 的特征值;充分条件 2 是 4.

A 为实对称矩阵。

实对称矩阵极其相似对角化。

n 阶实对称矩阵 A 必可正交、相似于对角阵


? ,即有正交阵 P

使得

P ?1 AP ? P T AP ? ? 而且正交阵 P

A 对应的几个正交的特征矢量组成。
其实本章的内容从中也可以找到类似于第三章矢量与第四章线性方程组之间的那种前后 印证、相互推导的关系:以求方阵的幂 但如果有矩阵

A k 作为思路的起点,直接乘来求 A k 比较困难,

P

使得

A 满足 P ?1 AP ? ? (对角阵)的话就简单多了,因为此时

Ak ? P?P ?1 ? P?P ?1 ? ? ? P?P ?1 ?
?a k ? 就等于 ? ? ?

?a ? ? ? P?k P ?1 ,而对角阵 ? ? ? b ? ? c? ? ?

的幂 ?

k

bk

? ? ? 代如上式即得 k? c ?

Ak

。而矩阵相似对角化的定义式正是

P ?1 AP ? ? 。所以可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂,引入特征
值和特征矢量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。 因为, 不但判断矩阵的相似对角化 时要用到特征值和特征矢量,而且 P
?1

AP ? ? 中的 P 、 ? 也分别是由 A 的特征矢

量和特征值决定的。 以上思路在本章的地位并不重要,因为与第三、四章知识点的互联关系不同,考试时 这条思路一般不会被用到。 而考察线性相关和线性方程组的题目却频繁用到前面提到的各种 内在联系, 甚至一些题目的题眼就是小结中的某一句话。 所以前面的讨论可以用来辅助理解, 但对于做题时打开思路用处不大。 1.7 线代第六章《二次型》

本章内容较少,大纲要求包括掌握二次型及其矩阵表示和掌握用正交变换化二次型为 标准型的方法,对于其它知识点仅要求了解。 在理年真题中本章知识点出现次数不多,但也考过大题。本章所讲的内容从根本上讲 是第五章《特征值和特征矢量》的一个延伸,因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实 对称矩阵

A 存在正交矩阵 P 使得 A 可以相似对角化” ,其过程就是上一章相似对角化在

A 为实对称矩阵时的应用。
将本章与上一章中相似对角化部分的内容作比较会有助于理解记忆 “化二次型为标准型” 的 步骤及避免前后混淆,但因为大纲对本章要求不高,所以不必深究。



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